使用Excel繪制t分布概率密度函數

關于t分布應用廣泛，主要用于假設檢驗。關于使用Excel畫出t分布的概率密度函數圖表的問題，試答如下：

使用excel繪制t分布的概率密度函數，需要兩列：1）自變量X，2）計算自變量X對應的t分布的概率密度函數。由于Excel中TDIST函數計算的是概率累積密度，不能計算概率密度值，所以借用伽馬函數的自然對數。先從t分布的公式著手。

其中：ν 為自由度=n-1

Γ為伽馬函數的的符號

t分布的平均數和標準正態分布一樣均等于0

t分布的標準差=ν/(ν-2)

我們以隨機變量t值為x軸（即視t為x），如何將自由度帶入方程式求y值？因為t分布中涉及到GAMMALN()函數，而excel是提供GAMMALN()函數的，所以我們可以使用excel中的GAMMALN()函數來計算得到t分布的概率密度函數（參見【附錄】）。經轉換后其公式為：

t(X,df)=EXP(GAMMALN((df+1)/2))/（SQRT(PI()*df)*EXP(GAMMALN(df/2))）*(1+X^2/df)^(-1/2*(df+1))……………………………………公式（1）

由于對公式書寫格式的順序的理解不同，上述公式可能也會寫成以下形式：

t(X,df)=EXP(GAMMALN((df+1)/2))*(1+X^2/df)^(-(df+1)/2)/SQRT(df*PI())/EXP(GAMMALN(df/2))  ……………………………………公式（2）

現以自由度（ν）=4為例，求t分布的圖表，可由以下幾步進行：

第1步 確定自變量取值范圍

自由度=4時，t分布的方差為ν/(ν-2)=2，標準差= SQRT (2)=1.414

t分布的平均數和標準正態分布一樣均等于0,同樣與正態分布一樣，幾乎99%的t值會落在平均數`x±3個標準差之內，即落在區間（`x-3σ，`x+3σ）之間，所以橫軸的取值范圍在-4.2~4.2之間。

第2步 在Excel單元格中輸入自變量

在A列中，在單元格A2中輸入-4.2，在單元格A3中輸入-4，遞增0.2，選中單元格A2與A3，按住右下角的填充控制點一直拖到單元格A44是4.2為止，A列的這些數據就作為隨機變量t的取值。如表-1所示：

表-1

第3步 在單元格B2中輸入計算t分布的概率密度函數的公式

對于公式（1），由于自由度（ν）=4 ，則由df=4代入；自變量X就是單元格A2的值，所以按Excel相對引用的規則，X由A2代入即可，于是單元格B2內容是

=EXP(GAMMALN((4+1)/2))/（SQRT(PI()*4)*EXP(GAMMALN(4/2))）*(1+A2^2/4)^(-1/2*(4+1))，如表-2所示：

 表-2

上述公式如按公式（1）的理解順序，單元格B2內容可以寫成：

=EXP(GAMMALN((4+1)/2))*(1+A2^2/4)^(-(4+1)/2)/SQRT(4*PI())/EXP(GAMMALN(4/2))

結果是一樣的。

第4步 復制公式

按住單元格B2右下角的填充控制點，向下一直拖曳到B44，將B2的公式填充復制到B列的相應的單元格，如表-3所示：

表-3

第5步 由于相對引用的規則，A列的自變量會自動被公式相對引用計算，結果如表-4所示：

表-4

上述表-3是為了說明公式的復制，而特意在“工具”-“選項”-“視圖”中將“公式”勾選，從而使公示內容全部顯示出來。實際操作中，如表-4一樣，公式的表達式不會顯露，只有計算的結果會出現。至此已完成自由度為4的t分布概率密度函數表。

第6步 作t分布概率密度函數圖

選擇A1：B44，選“圖表向導”-“標準類型’-“XY散點圖”（平滑線），如圖-1所示：

圖-1

第7步 輸入標題，調整字號、線型等格式，完成t分布概率密度函數圖，如圖-2所示：

圖-2

如將上圖的圖表類型換成二維面積圖，則如圖-3-1(2003版)和圖-3-2（2010版）所示：

圖-3-1

圖-3-2

在Excel 2003版中面積圖數據系列格式的圖案的內部填充格式沒有透明的設置，也不能使用柱形圖那樣用預先制作的透明圖片填充，此類效果可以在2007版與2010版中輕易實現。如為了在2003版中突出視覺效果，可以嘗試使用三維面積圖。如將上圖的圖表類型換成三維面積圖，則如圖-4-1（2003版）和圖-4-2（2010版）所示：

圖-4-1

圖-4-2

為了方便調整不同的自由度參數值觀察圖形變化，在Excel數據表中可在第一行的某幾個單元格如E1、F1、G1輸入不同參數，然后在公式引用這幾個參數時使用不同的方式：列數據為相對引用，而行數據為絕對引用，如E$1、F$1、G$1。而A列自變量值則使用：列數據為絕對引用，而行數據為相對引用，如$A2、$A3、$A4等。

數據表輸入截圖如圖-5：

圖-5

在公式輸入后，選擇單元格區間A1：D44，在同一圖表作出三種不同自由度的平滑曲線的散點圖，可見隨著自由度的變大，t分布越向Y軸集中如圖-6所示：

圖-6

【附錄：關于GAMMALN（）函數和EXP（）函數】

?函數 GAMMALN 的計算公式如下：

伽馬函數Γ（x）是個定積分，無法直接繪圖，可由GAMMALN（）函數和EXP（）函數，并利用對數恒等式：

間接求得，下面對以上內容使用Excel中的相關文字加以說明。

GAMMALN函數的作用： 返回伽瑪函數Γ(x)的自然對數。

語法：

GAMMALN(x)

X    為需要計算函數 GAMMALN 的數值。

GAMMALN(x)=LN(Γ（x）)

說明：

如果 x 為非數值型，函數 GAMMALN 返回錯誤值 #VALUE!。

如果 x ≤ 0，函數 GAMMAIN 返回錯誤值 #NUM!。

數字 e 的 GAMMALN(i) 次冪等于 (i-1)!，其中 i 為整數,常數 e 等于 2.71828182845904，是自然對數的底數。

GAMMALN(8)=8.525161

EXP(GAMMALN(8))=5040=(8-1)!=FACT(7)

FACT(N)為返回N-1的階乘（N-1）！=1×2×3×4×…×(N-2)×(N-1)的函數（其中N為自然數）

關于EXP（）函數： EXP（）返回 e 的 n 次冪。常數 e 等于 2.71828182845904，是自然對數的底數。

語法

EXP(number)

Number 為底數 e 的指數。

說明

若要計算以其他常數為底的冪，請使用指數操作符 (^)。

EXP 函數是計算自然對數的 LN 函數的反函數。

EXP(1)=2.718282（e的近似值）

EXP(2)=7.389056

EXP(1)=20.08554

EXP(LN(3))=3

于是為求伽馬函數Γ（x）首先要回憶一個最基本的恒等式：

即可得：

把該恒等式用于伽馬函數的取得，可以由以下兩步進行：

先用GAMMALN(x)，取得自然對數；

再用EXP(GAMMALN(x)),取得伽馬函數的值。