經典算法研究系列：一、A*搜索算法  

啟發式搜索算法
    要理解A*搜尋算法，還得從啟發式搜索算法開始談起。
    所謂啟發式搜索，就在于當前搜索結點往下選擇下一步結點時，可以通過一個啟發函數來進行選擇，選擇代價最少的結點作為下一步搜索結點而跳轉其上（遇到有一個以上代價最少的結點，不妨選距離當前搜索點最近一次展開的搜索點進行下一步搜索）。

    DFS和BFS在展開子結點時均屬于盲目型搜索，也就是說，它不會選擇哪個結點在下一次搜索中更優而去跳轉到該結點進行下一步的搜索。在運氣不好的情形中，均需要試探完整個解集空間, 顯然，只能適用于問題規模不大的搜索問題中。

    而與DFS,BFS不同的是，一個經過仔細設計的啟發函數，往往在很快的時間內就可得到一個搜索問題的最優解，對于NP問題，亦可在多項式時間內得到一個較優解。是的，關鍵就是如何設計這個啟發函數。

A*搜尋算法
    A*搜尋算法，俗稱A星算法，作為啟發式搜索算法中的一種，這是一種在圖形平面上，有多個節點的路徑，求出最低通過成本的算法。常用于游戲中的NPC的移動計算，或線上游戲的BOT的移動計算上。該算法像Dijkstra算法一樣，可以找到一條最短路徑；也像BFS一樣，進行啟發式的搜索。

    A*算法最為核心的部分，就在于它的一個估值函數的設計上：
        f(n)=g(n)+h(n)

    其中f(n)是每個可能試探點的估值，它有兩部分組成：
    一部分，為g(n)，它表示從起始搜索點到當前點的代價（通常用某結點在搜索樹中的深度來表示）。
    另一部分，即h(n)，它表示啟發式搜索中最為重要的一部分，即當前結點到目標結點的估值，
    h(n)設計的好壞，直接影響著具有此種啟發式函數的啟發式算法的是否能稱為A*算法。

   一種具有f(n)=g(n)+h(n)策略的啟發式算法能成為A*算法的充分條件是：
      1、搜索樹上存在著從起始點到終了點的最優路徑。
      2、問題域是有限的。
      3、所有結點的子結點的搜索代價值>0。
      4、h(n)=<h*(n) （h*(n)為實際問題的代價值）。

    當此四個條件都滿足時，一個具有f(n)=g(n)+h(n)策略的啟發式算法能成為A*算法，并一定能找到最優解。

    對于一個搜索問題，顯然，條件1,2,3都是很容易滿足的，而條件4： h(n)<=h*(n)是需要精心設計的，由于h*(n)顯然是無法知道的，所以，一個滿足條件4的啟發策略h(n)就來的難能可貴了。

    不過，對于圖的最優路徑搜索和八數碼問題，有些相關策略h(n)不僅很好理解，而且已經在理論上證明是滿足條件4的，從而為這個算法的推廣起到了決定性的作用。

    且h(n)距離h*(n)的呈度不能過大，否則h(n)就沒有過強的區分能力，算法效率并不會很高。對一個好的h(n)的評價是：h(n)在h*(n)的下界之下，并且盡量接近h*(n)。  

A*搜尋算法的實現 
      先舉一個小小的例子：即求V0->V5的路徑，V0->V5的過程中，可以經由V1，V2，V3，V4各點達到目的點V5。下面的問題，即是求此起始頂點V0->途徑任意頂點V1、V2、V3、V4->目標頂點V5的最短路徑。

//圖片是引用rickone 的。上圖中，說白了，無非就是：一個隊列，open 往close 插入元素。
           通過上圖，我們可以看出：：A*算法最為核心的過程，就在每次選擇下一個當前搜索點時，是從所有已探知的但未搜索過點中(可能是不同層，亦可不在同一條支路上)，選取f值最小的結點進行展開。
      而所有“已探知的但未搜索過點”可以通過一個按f值升序的隊列(即優先隊列)進行排列。
      這樣，在整體的搜索過程中，只要按照類似廣度優先的算法框架，從優先隊列中彈出隊首元素（f值），對其可能子結點計算g、h和f值，直到優先隊列為空(無解)或找到終止點為止。

      A*算法與廣度、深度優先和Dijkstra 算法的聯系就在于：當g(n)=0時，該算法類似于DFS，當h(n)=0時，該算法類似于BFS。且同時，如果h(n)為0，只需求出g(n)，即求出起點到任意頂點n的最短路徑，則轉化為單源最短路徑問題，即Dijkstra算法。這一點，可以通過上面的A*搜索樹的具體過程中將h(n)設為0或將g(n)設為0而得到。 

A*算法流程：
    首先將起始結點S放入OPEN表，CLOSE表置空，算法開始時：
      1、如果OPEN表不為空，從表頭取一個結點n，如果為空算法失敗。
      2、n是目標解嗎？是，找到一個解（繼續尋找，或終止算法）。
      3、將n的所有后繼結點展開，就是從n可以直接關聯的結點（子結點），如果不在CLOSE表中，就將它們放入OPEN表，并把S放入CLOSE表，同時計算每一個后繼結點的估價值f(n)，將OPEN表按f(x)排序，最小的放在表頭，重復算法，回到1。

//OPEN-->CLOSE，起點-->任意頂點g(n)-->目標頂點h(n)
closedset := the empty set                 //已經被估算的節點集合   
    openset := set containing the initial node //將要被估算的節點集合
    g_score[start] := 0                        //g(n)
    h_score[start] := heuristic_estimate_of_distance(start, goal)    //h(n)
    f_score[start] := h_score[start]     
      
    while openset is not empty    //若OPEN表不為空
        x := the node in openset having the lowest f_score[] value //x為OPEN表中最小的
        if x = goal                                               //如果x是一個解
            return reconstruct_path(came_from,goal)             //
        remove x from openset
        add x to closedset                            //x放入

CLSOE表
        for each y in neighbor_nodes(x)
            if y in closedset
                continue
            tentative_g_score := g_score[x] + dist_between(x,y)

            if y not in openset
                add y to openset
                tentative_is_better := true
            else if tentative_g_score < g_score[y]
                tentative_is_better := true
            else
                tentative_is_better := false
            if tentative_is_better = true
                came_from[y] := x
                g_score[y] := tentative_g_score
                h_score[y] := heuristic_estimate_of_distance(y, goal)  //x-->y-->goal
                f_score[y] := g_score[y] + h_score[y]
    return failure

function reconstruct_path(came_from,current_node)
    if came_from[current_node] is set
        p = reconstruct_path(came_from,came_from[current_node])
        return (p + current_node)
    else
        return the empty path 

     與結點寫在一起的數值表示那個結點的價值f(n)，當OPEN表為空時CLOSE表中將求得從V0到其它所有結點的最短路徑。

     考慮到算法性能，外循環中每次從OPEN表取一個元素，共取了n次（共n個結點），每次展開一個結點的后續結點時，需O(n)次，同時再對OPEN表做一次排序，OPEN表大小是O(n)量級的，若用快排就是O(nlogn)，乘以外循環總的復雜度是O(n^2 * logn)，

     如果每次不是對OPEN表進行排序，因為總是不斷地有新的結點添加進來，所以不用進行排序，而是每次從OPEN表中求一個最小的，那只需要O(n)的復雜度，所以總的復雜度為O(n*n)，這相當于Dijkstra算法。

 本文完。
     July、二零一一年二月十日更新。
------------------------------------------------

后續：July、二零一一年三月一日更新。
簡述A*最短路徑算法的方法：
   目標：從當前位置A到目標位置B找到一條最短的行走路徑。

   方法：從A點開始，遍歷所有的可走路徑，記錄到一個結構中，記錄內容為（位置點，最小步數）
         當任何第二次走到一個點的時候，判斷最小步驟是否小于記錄的內容，如果是，則更新掉原最小步數，一直到所有的路徑點都不能繼續都了為止，最終那個點被標注的最小步數既是最短路徑，
         而反向找跟它相連的步數相繼少一個值的點連起來就形成了最短路徑，當多個點相同，則任意取一條即可。

   總結：
   A*算法實際是個窮舉算法，也與課本上教的最短路徑算法類似。課本上教的是兩頭往中間走，也是所有路徑都走一次，每一個點標注最短值。