作者：丁點helper 

來源：丁點幫你

前面的文章主要介紹了回歸的一些關鍵詞，比如回歸系數、樣本和總體回歸方程、預測值和殘差等，今天我們結合一個案例來看看如何做完整的回歸分析，準確而言，是多重線性回歸（Multiple Linear Regreesion）。

回顧：多重線性回歸

多重線性回歸，一般是指有多個自變量X，只有一個因變量Y。前面我們主要是以簡單線性回歸為例在介紹，兩者的差距主要在于自變量X的數量，在只有一個X時，就稱簡單線性回歸。

在實際應用中，我們當然很少只納入一個自變量。多重線性回歸一般也叫“多元線性回歸”，我更支持“多重”的叫法，因為“多元”一般也指“因變量Y”有多個。

通過前面的文章，我們知道做線性回歸就是要構建Y與X的線性關系，主要目的有兩個，一是確定X對Y的影響程度（即回歸系數的計算）；二是通過X來預測Y。

這里最重要的一條準則是：Y需要是定量變量，就是類似于“收入”、“得分”等。而對X沒有這樣的要求，可以是定量的，如“教育年限”、“年齡”等；也可以是“性別”、“民族”等分類變量。

案例 從某高校三年級女生體檢的數據中，隨機抽取20名作為樣本，數據包括體重(kg)、胸圍(cm)、肩寬(cm)及肺活量(L)，分析女大學生肺活量的影響因素，數據見下表：

首先簡單看看上表的數據，我們想要研究女生肺活量的影響因素，所以回歸的因變量為“肺活量（Y）”，根據常識和數據，這里的Y是定量變量。

搜集的其他數據作為潛在的影響因素（X）納入回歸方程，分別是：體重、胸圍、肩寬。我們也能簡單就能判斷這三個自變量都是定量變量。

（對于變量類型如何判斷還不太了解的同學，戳此回顧）

這里進行回歸分析，一是判斷這些X是否都會影響Y（總體回歸系數是否不為0）；二是通過構造的回歸方程，未來根據X的值計算Y的預測值。

多重線性回歸的SPSS操作

回歸分析用SPSS操作的步驟如下：

SPSS數據錄入格式

SPSS回歸分析的菜單（Linear代表線性回歸）

回歸操作窗口，Dependent為因變量，Independent為自變量，分別移入

上圖中的“Method”稱作“自變量篩選”方法，我們做線性回歸分析很重要的一點是找Y的影響因素，這里的“找”就意味著“篩選”。

比如本案例我們納入了三個自變量，通過回歸分析，就是要找到那些真正對Y產生影響的變量。最終的結果有可能三個X都有影響，則最終的回歸方程會有三個X，也有可能一個X都沒有。

我們看到Method的下拉菜單有不同的選項：

Enter：將自變量強行全部納入回歸方程，不排除回歸系數P值大于0.05的情況；

Stepwise、Remove、Backward、Forward，這些都是軟件篩選自變量的方法，雖然名稱不一，但思想相近，主要就是根據回歸系數檢驗的P值是否小于0.05（有的是0.1）判斷回歸方程中應不應該有這個變量。

一般來講，沒有哪個篩選方法最優，但實際應用中常見的是Stepwise和Backward，建議大家自己進行回歸分析時可以更換不同的方法嘗試，選擇自己認為合適的方法。

本案例使用Stepwise法，中文稱為“逐步法”或“步進法”。

多重線性回歸的結果分析

以下為SPSS分析結果展示：

表1：回歸方程的擬合程度

上表最左側一列為“Model”，表示的是SPSS篩選變量的過程，因為我們選擇的是stepwise，所以每進行一步，即每篩選一個變量，就稱為一個Model，比如Model"1"表示只納入1個自變量，Model“2”表示納入2個，“3”表示納入3個，”4“表示最終模型剔除了一個自變量，僅納入2個自變量。

表格第2-4列分別為”R、R Square、Adjusted R Square“，一般的教科書講的很多，表示的是回歸方程對因變量的解釋程度，數值越大，解釋度越高。但它又是一個比較尷尬的數，實際應用簡單參考即可。

表2：回歸方程的整體檢驗

這里的Model和上表1中表示的是同一個意思，代表了包括不同自變量的回歸方程。對于回歸方程的檢驗，一般來講，都是有統計學意義的，看最后一列（Sig.）,即P值均小于0.05。

表3：回歸系數結果

表3中的Model詳細展示了變量的篩選過程，比如在Model 3中，回歸方程將三個自變量”肩寬、體重、胸圍“全部納入，但是發現，”肩寬“這個變量的Sig.（P值）大于0.1了，于是就將它剔除出去，從而得到模型4——只納入”體重和胸圍“兩個自變量，對照后面的P值結果，均小于0.05。

以上只是一種篩選變量的一種方法（Stepwise），通過統計軟件P值自動進行，這并不意味，所有的線性回歸分析均只能通過這種方法篩選，我們常說需要結合專業知識判斷，在做回歸分析時也不例外。

如果回歸分析的結果與專業知識相悖，比如根據專業知識有影響的變量卻被軟件剔除，那我們首先得慎重思考回歸的結果是否可信，比如是否滿足前文提及的LINE條件，是否出現了多重共線性問題等等；如果經過診斷分析發現這些問題都不存在，在研究報告或論文中，仍可以如實地報告結果，為后面的研究提供參考。

本案例，我們還是依照統計軟件的結果篩選變量，得到的最終回歸方程為：

根據上表，我們寫出本研究的回歸方程：

上述結果表示，可以認為體重和胸圍是影響該校一年級女大學生肺活量的主要因素，保持胸圍不變，體重增加1kg，估計肺活量平均增加0.081L（回歸系數”0.081“的含義，在多重線性回歸分析中也可稱作”偏回歸系數“）；保持體重不變，胸圍增大1cm，估計肺活量平均增加0.046L（回歸系數”0.046“的含義）。

另外，上表最后一列提供了一個”標準化偏回歸系數“，這是將XY分別標準化之后再進行回歸分析，如下：

”標準化偏回歸系數“可以用來比較不同的自變量X對Y的影響程度。本例中，體重和胸圍的標準化偏回歸系數分別為0.644和0.436，意味著體重對肺活量的影響大于胸圍對肺活量的影響。

以上即為回歸分析的全過程，最后留給大家一個思考題，這里進行的分析，表示的是X和Y的相關關系，還是因果關系？歡迎在評論區留言討論。