卷積神經網絡（Convolutional Neural Network，簡稱CNN）是一類常用于圖像識別、語音識別等領域的深度學習模型。其中最重要的部分就是卷積操作。那么，什么是卷積操作呢？

在介紹卷積之前，我們需要先了解一下信號處理中的卷積。信號處理中的卷積是指將兩個函數進行加權平均得到一個新的函數。具體而言，如果有兩個函數$f$和$g$，它們的卷積是這樣定義的：

$$int_{-infty}^infty f(tau)g(t-tau)dtau$$

這個式子看起來比較抽象，但可以通過一個例子來理解。假設我們有一個長度為$5$的離散信號序列$x=[1,2,3,4,5]$，另一個信號序列$h=[1,1,1]$，則$h$的卷積核為：

$$h=[1,1,1] Rightarrow h[-1]=h[0]=h[1]=1, h[2]=0, h[3]=h[4]=...=0$$

我們可以將$x$和$h$像這樣擺放：

$$x = [1, 2, 3, 4, 5]$$ $$h = [1, 1, 1, 0, 0]$$

然后，我們將$h$翻轉過來，再將它與$x$對齊，從第一個數開始相乘，求和并得到新序列的第一個元素；接著，我們將$h$向右移動一個單位，再次將它與$x$對齊，并得到新序列的第二個元素……直到$h$覆蓋完整個$x$序列，得到如下結果：

$$y=[3,6,9,12,15,0,0]$$

在卷積神經網絡中，卷積操作基本上是按照這個流程進行的。不同之處在于，我們通常使用多個卷積核來提取圖像的特征。每個卷積核都是一個小的矩陣，例如$3 times 3$或$5 times 5$，它們會滑動在輸入圖像的每個位置，計算某個輸出特征圖上的一個像素值。

假設我們有一個$5 times 5$的輸入圖像$I$，和一個大小為$3 times 3$的卷積核$K$，則卷積操作可以表示為：

$$O_{i,j}= sum_msum_n I_{i+m,j+n}K_{m,n}$$

其中，$O$是輸出特征圖，$I$是輸入圖像，$K$是卷積核，$i,j$是輸出特征圖上的位置，$m,n$是卷積核內的位置。這個式子表示，在輸出特征圖上的每個位置$(i,j)$，都會以此滑動$K$，計算輸入圖像$I$上所有與$K$重合的位置處的像素值與$K$內的系數的乘積，最后將這些乘積相加得到輸出特征圖上相應位置的像素值。

這個過程可以用下圖表示：

在實際應用中，我們通常使用多個卷積核進行卷積操作。這些卷積核可以對輸入圖像進行不同的特征提取，例如檢測邊緣、角點、紋理等。因此，一個卷積層通常會產生多個特征圖，每個特征圖對應一個卷

積核。在深度學習中，這些卷積核是通過反向傳播算法自適應學習得到的，以最大化網絡的分類性能。

除了卷積操作，卷積神經網絡還包括池化、激活函數等操作。其中，池化操作用于降低特征圖的尺寸和維度，減少計算量并增強模型的魯棒性；激活函數則用于引入非線性變換，使網絡能夠學習更加復雜的特征。

總之，卷積神經網絡中的卷積操作是一種基本的特征提取方式，它可以將輸入圖像中的局部信息進行組合，從而得到更加豐富的特征表示。卷積神經網絡的設計和訓練都是圍繞著卷積操作展開的，因此對卷積操作的理解至關重要。