算法回顧

圖片來源：https://medium.com/machine-learning-101/chapter-1-supervised-learning-and-naive-bayes-classification-part-1-theory-8b9e361897d5

貝葉斯分類算法屬于有監督機器學習（Supervised Learning）。貝葉斯分類器是一類分類算法的總稱，這類算法均以貝葉斯定理為基礎，故統稱為貝葉斯分類。其中樸素貝葉斯分分類是貝葉斯分類中最簡單的，也是最常見的一種分類方法。

樸素貝葉斯分類算法的核心如下公式：

P(A)：它是先驗該率（Prior Probability），是A發生的概率。

P(B)： 是邊際可能性（Marginal Likelihood）：是B發生的概率。

P(B|A)：是可能性（likelihood），基于給定的A，B發生的概率，即已知A發生，B發生的概率。

P(A|B)：是后驗概率（Posterior Probability）：基于給定的B，A發生的概率，即已知B發生，A發生的概率。

換個表達式可能理解的就會更加透徹：

以下是從Udemy上借鑒的一個例子：

假設有兩個特征，分別為工資（Salary）和年齡（Age），已知有兩種分類分別為：步行（Walks）和自駕（Drives），如上圖所示。

當有一個新數據點進來時（如灰色點），基于給定它的特征工資和年齡，應該把它分為哪類？

其中，$P(Walks) = {10} \over {30}$，$P(Drives)={20} \over {30}$。

首先計算P(Walks|X)的概率，可以參見如下公式：

首先，需要自定義一個參考集，如下圖中虛線所示。

• 先驗概率（步行上班發生的概率）為：$P(Walks)={10} \over {40}$；
• 邊際可能性為：$P(X)={4} \over {30}$；
• 可能性為：$P(X|Walks)={3} \over {10}$；
• 后驗概率（給定特征情況下，步行上班發生的概率）為：$P(Walks|X) = {0.3 * 0.25} \over {4 \over 30} = 0.75$。

計算$P(Walks|X)$后計算$P(Drivers|X)$，通過比較兩個概率的大小，來決定灰色點屬于哪類（Walks 或者 Drives）。通過比較不難得出灰色點屬于“步行上班”類別（此處省略計算過程）。

在機器學習中，樸素貝葉斯分類器是基于貝葉斯理論（該理論中有很強的特征間獨立性假設）的一個簡單“概率分類”的家族。因此，樸素貝葉斯分類算法屬于概率的機器學習（probabilistic machine learning），并且可應用于很多分類的任務中。典型的應用有垃圾郵件篩選（filtering spam），分類文件（classifying documents），情緒預測（sentiment prediction）。

在scikit-learn中，一共提供三種樸素貝葉斯的方法，分別為高斯樸素貝葉斯（Gaussian Naive Bayes）、二項式樸素貝葉斯（Multinomial Naive Bayes），伯努利樸素貝葉斯（Bernoulli Naive Bayes）和補足樸素貝葉斯（Complement Naive Bayes）。官方文檔中給出以高斯樸素貝葉斯為例的代碼，示例如下：

>>> from sklearn.datasets import load_iris
>>> from sklearn.model_selection import train_test_split
>>> from sklearn.naive_bayes import GaussianNB
>>> X, y = load_iris(return_X_y=True)
>>> X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.5, random_state=0)
>>> gnb = GaussianNB()
>>> y_pred = gnb.fit(X_train, y_train).predict(X_test)
>>> print("Number of mislabeled points out of a total %d points : %d"
...       % (X_test.shape[0], (y_test != y_pred).sum()))
Number of mislabeled points out of a total 75 points : 4 

概率校正

分類概率在一些機器模型中應用廣泛，在scikit-learn中，大多數機器學習算法通過使用predict_proba函數，允許計算樣本各類別的概率。這個功能對于一些情況下是極為有效的，例如，如果某一類的模型預測概率是大于歐90%的。但是，包括樸素貝葉斯等模型，它的模型預測概率與現實中的概率不盡相同。例如，函數predict_proba預測某個樣本屬于某類的樣本概率是70%，而實際只有0.1或者0.99。尤其對于樸素貝葉斯模型而言，盡管不同目標類的預測概率有效（valid），但原始概率往往采用接僅0和1的極端值。

為了得到有意義的預測概率，需要采用模型“校正”（calibration）。在scikit-learn中，使用CalibratedClassifierCV分類，通過k折交叉驗證（k-fold cross-validation）來生成“好的”校正的預測概率。在CalibratedClassifierCV中，訓練集用于訓練模型，測試集用于矯正模型預測概率。返回的預測概率是k-fold的均值。詳見參考 文章。

代碼示例如下：

# 導入相關的庫 
from sklearn import datasets
from sklearn.naive_bayes import GaussianNB
from sklearn.calibration import CalibratedClassifierCV 

# 載入鶯尾花數據集 
iris = datasets.load_iris()
X = iris.data
y = iris.target 

# 構建樸素貝葉斯分類對象 
clf = GaussianNB() 

# 構建校正器 
clf_sigmoid = CalibratedClassifierCV(clf, cv=2, method='sigmoid') 

# 構建帶有校正概率的分類器 
clf_sigmoid.fit(X, y) 

# 構建新樣本 
new_observation = [[ 2.6,  2.6,  2.6,  0.4]]

# 得到矯正后的概率 
clf_sigmoid.predict_proba(new_observation) 

根據Alexandru和Rich在2005年發表的題為“Predicting Good Probabilities With Supervised Learning”論文[1]中指出：對于樸素貝葉斯模型而言，對于不同校正集合的大小，Isotonic Regression的表現都優于Platt Scaling方法（在CalibratedClassifierCV中，用參數method定義）。因此，這對樸素貝葉斯模型的參數設置，可以優先考慮Isotonic Regression方法。

參考文章：

[1] Niculescu-Mizil, A., & Caruana, R. (2005, August). Predicting good probabilities with supervised learning. In Proceedings of the 22nd international conference on Machine learning (pp. 625-632).