在線性代數中，我們都學過特征值與特征向量，但是對于這兩者的意義以及應用卻理解得不是那么深刻。機器學習中，我們也經常會遇到特征值與特征向量這兩個概念，小編今天就給大家具體分享一下這兩者的基本知識。

一、特征值和特征向量定義

設A為n階方陣，如果數λ和n為非零列向量x，并使得Ax=λx成立，那么就把λ叫做方陣A的一個特征值，x就是方陣A的對應于特征值λ的一個特征向量。

需要注意：

1.A是方陣。(對于非方陣來說，是不存在特征值的，但是會存在條件數。)

2.特征向量x為非零列向量。

二、特征值和特征向量幾何意義

如果把矩陣當做是運動，那么對于運動來說，最重要就是速度和方向了。

特征值表示運動的速度

特征向量表示運動的方向

接下來我們調整向量v的方向，使其看起來特殊一點

特征向量在一個矩陣的作用下作伸縮運動，特征值決定了伸縮的幅度。如果特征值大于1.那么所有屬于此特征值的特征向量變長;當特征值大于0小于1時，那么特征向量就會縮短;當特征值小于0.這時特征向量縮過了界，就會反方向到達原點。

三、特征值、特征向量的性質

1.只有方陣才有特征值和特征向量 。因為總有特征多項式(特征方程)，所以方陣總有特征值，但是并不是所有方陣都有實數特征解

2.實方陣一定有實數特征解

3.不同特征值對應的特征向量是線性無關的

4.對于實對稱矩陣或埃爾米特矩陣來說，不同特征值對應的特征向量必定正交(相互垂直)

四、矩陣對角化

矩陣對角化的充要條件為：n階矩陣有n個線性無關的特征向量。

推斷出：如果n階方陣A有n個互不相同的特征值，那么方陣A可對角化。

并且：

對角陣的主對角元素為A的特征值

可逆矩陣P由A的n個線性無關的特征向量作列向量構成。

五、python求解特征值和特征向量示例

>>> a=np.array([[1,2,3],[3,2,5],[1,10,8]])
>>> e,q=np.linalg.eig(a)
>>> e
array([ 13.50864036,  -0.42667365,  -2.0819667 ])
>>> q
array([[-0.27543318, -0.6534998 , -0.23748816],
       [-0.44255955, -0.44847532, -0.67779488],
       [-0.85339183,  0.60976053,  0.69584012]])
>>> 
>>> E=np.diag(e) # 對角陣
>>> E
array([[ 13.50864036,   0.        ,   0.        ],
       [  0.        ,  -0.42667365,   0.        ],
       [  0.        ,   0.        ,  -2.0819667 ]])