R語言解讀自回歸模型

時間序列是金融分析中常用到的一種數據格式，自回歸模型是分析時間序列數據的一種基本的方法。通過建立自回歸模型，找到數據自身周期性的規律，從而幫助我們理解金融市場的發展變化。

在時間序列分析中，有一個常用的模型包括AR，MA，ARMA，ARIMA，ARCH，GARCH，他們的主要區別是適用條件不同，且是層層遞進的，后面的一個模型解決了前一個模型的某個固有問題。本文以AR模型做為開始，將對時間序列分析體系，進行完整的介紹，并用R語言進行模型實現。

由于本文為非統計的專業文章，所以當出現與教課書不符的描述，請以教課書為準。本文力求用簡化的語言，來介紹自回歸模型的知識，同時配合R語言的實現。

目錄

自回歸模型介紹

用R語言構建自回歸模型

模型識別ACF/PACF

模型預測1. 自回歸模型(AR)

自回歸模型(Autoregressive model)，簡稱AR模型，是統計上一種處理時間序列的方法，用來描述當前值與歷史值之間的關系，用變量自身的歷史時間數據對自身進行預測，自回歸模型必須滿足平穩性的要求。比如，時間序列數據集X 的歷史各期數據從X1至Xt-1，假設它們為線性關系，可以對當期Xt的表現進行預測。X的當期值等于一個或數個落后期的線性組合，加常數項，加隨機誤差。

p階自回歸過程的公式定義：

字段解釋：

Xt是當期的X的表現

c是常數項

p是階數，i為從1到p的值

φi是自相關系數

t為時間周期

εt是均值為0，標準差為δ 的隨機誤差，同時δ是獨立于t的

對于一階自回模型，用AR(1)來表示，簡化后的公式為：

自回歸是從線性回歸分析中發展而來，只是把自變量x對因變量y的分析，變成自變量x對自身的分析。如果你需要了解線性回歸的知識，請參考文章R語言解讀一元線性回歸模型。

自回歸模型的限制

自回歸模型是用自身的數據來進行預測，但是這種方法受到一定的限制：

必須具有平穩性，平穩性要求隨機過程的隨機特征不隨時間變化。

必須具有自相關性，如果自相關系數(φi)小于0.5，則不宜采用，否則預測結果極不準確。

自回歸只適用于預測與自身前期相關的現象，即受自身歷史因素影響較大的現象。對于受其他因素影響的現象，不宜采用自回歸，可以改用向量自回歸模型。

平穩性時間序列的特點

平穩性要求產生時間序列Y的隨機過程的隨機特征不隨時間變化，則稱過程是平穩的；假如該隨機過程的隨機特征隨時間變化，則稱過程是非平穩的。

平穩性是由樣本時間序列所得到的擬合曲線，在未來的一段期間內能順著現有的形態能一直地延續下去；如果數據非平穩，則說明樣本擬合曲線的形態不具有延續的特點，也就是說擬合出來的曲線將不符合當前曲線的形態。

隨機變量Yt的均值和方差均與時間t無關

隨機變量Yt和Ys的協方差只與時間差（步長）t-s有關

對于平穩時間序列在數學上有比較豐富的處理手段，非平穩的時間序列通過差分等手段轉化為平穩時間序列處理

2. 用R語言構建自回歸模型

了解了自回歸模型的定義，我們就可以用R語言來模擬一下自回歸模型的構建和計算過程。

生成一個隨機游走的數據集，滿足平穩性的要求。

# 隨機游走的數據集> set.seed(0)> x<-w<-rnorm(1000) # 生成符合正態分布N(0,1)的數據> for(t in 2:1000) x[t]<-x[t-1]+w[t]> tsx<-ts(x) # 生成ts時間序列的數據集# 查看數據集> head(tsx,15) [1] 1.2629543 0.9367209 2.2665202 3.5389495 3.9535909 2.4136409 [7] 1.4850739 1.1903534 1.1845862 3.5892396 4.3528331 3.5538238[13] 2.4061668 2.1167053 1.8174901> plot(tsx) # 生成可視化圖形 > a<-ar(tsx);a # 進行自回歸建模Call:ar(x = tsx)Coefficients: 1 0.9879 Order selected 1 sigma^2 estimated as 1.168

數據的如圖展示：

自相關系數為0.9879 ，這是一個非常強的自相關性，所以上述的數列符合自相關的特性。

R語言中ar()函數提供了多種自相關系數的估計，包括"yule-walker", "burg", "ols", "mle", "yw"，默認是用yule-walker方法，常用的方法還有最小二乘法(ols)，極大似然法(mle)。

我們用最小二乘法，來進行參數估計。

> b<-ar(tsx,method = "ols");bCall:ar(x = tsx, method = "ols")Coefficients: 1 0.9911 Intercept: -0.017 (0.03149) Order selected 1 sigma^2 estimated as 0.9906

用最小二乘法的計算結果，則自相關系統數為0.9911，截距為-0.017。只有使用最小二乘法進行參數估計的時候，才會有截距。

我們用極大似然法，來進行參數估計。

> d<-ar(tsx,method = "mle");dCall:ar(x = tsx, method = "mle")Coefficients: 1 0.9904 Order selected 1 sigma^2 estimated as 0.9902

用極大似然法計算結果，則自相關系統數為0.9904。對于上面3種估計方法，自相關系數的值都是很接近的。

3. 模型識別ACF/PACF

在上面的例子中，我們默認是用一階的自回歸模型AR(1)，進行程序實現的。在實際應用中，自回歸模型AR時間序列的階數P是未知的，必須根據實際數據來決定，就要對AR模型定階數。常的方法就是利用自相關函數(ACF)和偏自相關函數(PACF)來確定自回歸模型的階數。在ACF/PACF不能確定的情況下，還需要用AIC(Aikaike info Criterion)、BIC(Bayesian information criterion)的信息準則函數來確定階數。

自回歸模型的確立過程，是通過確定階數，參數估計，再次確定階數的方法進行判斷。自相關函數ACF，用來確定采用自回歸模型是否合適。如果自相關函數具有拖尾性，則AR模型為合適模型。偏自相關函數PACF用來確定模型的階數，如果從某個階數之后，偏自相關函數的值都很接近0，則取相應的階數作為模型階數，偏自相關函數通過截尾性確定階數。

1. 自相關函數ACF(autocorrelation function)

將一個有序的隨機變量序列與其自身相比較，這就是自相關函數在統計學中的定義。每個不存在相位差的序列，都與其自身相似，即在此情況下，自相關函數值最大。如果序列中的組成部分相互之間存在相關性（不再是隨機的），則由以下相關值方程所計算的值不再為零，這樣的組成部分為自相關。

自相關函數反映了同一序列在不同時序的取值之間的相關程序。

ACF的公式為：

字段解釋

Pk,為ACF的標準誤差

t,為數據集的長度

k,為滯后，取值從1到t-1，表示相距 k個時間間隔的序列值之間的相關性

Yt,為樣本在t時期的值

Yt-k,為樣本在t-k時期的值

μ,為樣本的均值

所得的自相關值Pk的取值范圍為[-1,1],1為最大正相關值，-1則為最大負相關值，0為不相關。

根據上面公式，我們可以手動計算出tsx數據集的ACF值

> u<-mean(tsx) #均值> v<-var(tsx) #方差> # 1階滯后> p1<-sum((x[1:length(tsx)-1]-u)*(x[2:length(tsx)]-u))/((length(tsx)-1)*v);p1[1] 0.9878619> # 2階滯后> p2<-sum((x[1:(length(tsx)-2)]-u)*(x[3:length(tsx)]-u))/((length(tsx)-1)*v);p2[1] 0.9760271> # 3階滯后> p3<-sum((x[1:(length(tsx)-3)]-u)*(x[4:length(tsx)]-u))/((length(tsx)-1)*v);p3[1] 0.9635961

同時，我們可以用R語言中的acf()函數來計算，會打印前30個滯后的ACF值。

> acf(tsx)$acf, , 1 [,1] [1,] 1.0000000 [2,] 0.9878619 [3,] 0.9760271 [4,] 0.9635961 [5,] 0.9503371 [6,] 0.9384022 [7,] 0.9263075 [8,] 0.9142540 [9,] 0.9024862[10,] 0.8914740[11,] 0.8809663[12,] 0.8711005[13,] 0.8628609[14,] 0.8544984[15,] 0.8462270[16,] 0.8384758[17,] 0.8301834[18,] 0.8229206[19,] 0.8161523[20,] 0.8081941[21,] 0.8009467[22,] 0.7942255[23,] 0.7886249[24,] 0.7838154[25,] 0.7789733[26,] 0.7749697[27,] 0.7709313[28,] 0.7662547[29,] 0.7623381[30,] 0.7604101[31,] 0.7577333

比較前3個值的計算結果，與我們自己的計算結果是一樣的，同時可以用R語言進行可視化輸出。

> acf(tsx)

從上圖中看出，數據的ACF為拖尾，存在很嚴重的自相關性。接下來，這時候我們用偏自相關函數確定一下AR的階數。

2. 偏自相關函數(PACF)(partial autocorrelation function)

偏自相關函數是有自相關函數推到而來。對于一個平穩AR(p)模型，求出滯后k自相關系數p(k)時，實際上得到并不是x(t)與x(t-k)之間單純的相關關系。因為x(t)同時還會受到中間k-1個隨機變量x(t-1)、x(t-2)、……、x(t-k+1)的影響，而這k-1個隨機變量又都和x(t-k)具有相關關系，所以自相關系數p(k)里實際摻雜了其他變量對x(t)與x(t-k)的影響。

為了能單純測度x(t-k)對x(t)的影響，引進偏自相關系數的概念。對于平穩時間序列{x(t)}，所謂滯后k偏自相關系數指在給定中間k-1個隨機變量x(t-1)、x(t-2)、……、x(t-k+1)的條件下，或者說，在剔除了中間k-1個隨機變量x(t-1)、x(t-2)、……、x(t-k+1)的干擾之后，x(t-k)對x(t)影響的相關程度。

簡單來說，就是自相關系數ACF還包含了其他變量的影響，而偏自相關系數PACF是嚴格這兩個變量之間的相關性。在ACF中存在著線性關系和非線性關系，偏自相關函數就是把線性關系從自動關系性中消除。當PACF近似于0，表明兩個時間點之間的關系性是完全由線性關系所造成的。

通過R語言的pacf()函數來進行偏自相關函數計算。

> pacf(tsx)$acf, , 1 [,1] [1,] 0.987861891 [2,] 0.006463542 [3,] -0.030541593 [4,] -0.041290415 [5,] 0.047921168 [6,] -0.009774246 [7,] -0.006267004 [8,] 0.002146693 [9,] 0.028782423[10,] 0.014785187[11,] 0.019307564[12,] 0.060879259[13,] -0.007254278[14,] -0.004139848[15,] 0.015707900[16,] -0.018615370[17,] 0.037067452[18,] 0.019322565[19,] -0.048471479[20,] 0.023388065[21,] 0.027640953[22,] 0.051177900[23,] 0.028063875[24,] -0.003957142[25,] 0.034030631[26,] 0.004270416[27,] -0.029613088[28,] 0.033715973[29,] 0.092337583[30,] -0.031264028# 可視化輸出 > pacf(tsx)

從上面的這個結果分析，當滯后為1時AR模型顯著，滯后為其他值是PACF的值接近于0不顯著。所以，對于數據集tsx來說，數據滿足AR(1)的自回歸模型。對于上文中參數估計出的1階自相關系數值是可以用的。

4. 模型預測

通過模型識別，我們已經確定了數據集tsx是符合AR(1)的建模條件的，同時我們也創建了AR(1)模型。接下來，就可以利用這個自回測的模型的進行預測，通過規律發現價值。在R語言中，我們可以用predict()函數，實現預測的計算。

使用AR(1)模型進行預測，并保留前5個預測點。

> predict(a,10,n.ahead=5L)$predTime Series:Start = 2 End = 6 Frequency = 1 [1] 9.839680 9.681307 9.524855 9.370303 9.217627$seTime Series:Start = 2 End = 6 Frequency = 1 [1] 1.080826 1.519271 1.849506 2.122810 2.359189

上面結果中，變量$pred表示預測值，變量$se為誤差。

我可以生成可視化的圖，更直觀的看到預測的結果。

# 生成50個預測值 > tsp<-predict(a,n.ahead=50L)# 把原數據畫圖 > plot(tsx)# 把預測值和誤差畫出來> lines(tsp$pred,col='red') > lines(tsp$pred+tsp$se,col='blue')> lines(tsp$pred-tsp$se,col='blue')

圖中，黑色線為原始數據的，紅色線為預測值，藍色線為預測值的范圍。這樣我們就利用AR(1)模型，實現了對規律的預測計算。

上面關于預測和可視化的過程,我們是通過原生的predict()函數和plot()函數完成的。在R語言中，可以用forecast包來簡化上面的操作過程，讓代碼更少，操作更便捷。

# 加載forecast包> library('forecast')# 生成模型AR(1) > a2 <- arima(tsx, order=c(1,0,0))> tsp2<-forecast(a2, h=50)> plot(tsp2)

查看forecast()計算后的預測結果。

> tsp2 Point Forecast Lo 80 Hi 80 Lo 95 Hi 951001 -15.71590 -16.99118 -14.440628 -17.66627 -13.76553691002 -15.60332 -17.39825 -13.808389 -18.34843 -12.85820921003 -15.49181 -17.67972 -13.303904 -18.83792 -12.14569661004 -15.38136 -17.89579 -12.866932 -19.22685 -11.53587261005 -15.27197 -18.06994 -12.474000 -19.55110 -10.99284321006 -15.16362 -18.21425 -12.112996 -19.82915 -10.49809221007 -15.05631 -18.33593 -11.776682 -20.07206 -10.04055411008 -14.95001 -18.43972 -11.460312 -20.28705 -9.61297501009 -14.84474 -18.52891 -11.160567 -20.47919 -9.21028461010 -14.74046 -18.60591 -10.875013 -20.65216 -8.82876731011 -14.63718 -18.67257 -10.601802 -20.80877 -8.46559941012 -14.53489 -18.73030 -10.339486 -20.95121 -8.11857231013 -14.43357 -18.78024 -10.086905 -21.08123 -7.78591741014 -14.33322 -18.82333 -9.843112 -21.20026 -7.46619031015 -14.23383 -18.86034 -9.607319 -21.30947 -7.15819231016 -14.13538 -18.89190 -9.378864 -21.40985 -6.8609139

通過forecast()函數，直接生成了Forecast值，80%概率的預測值范圍，和95%概率的預測值范圍。

在明白了整個自回歸模型的設計思路、建模過程、檢驗條件、預測計算、可視化展示的完整操作后，我們就可以真正地把自回歸模型用到實際的業務中。發現規律，發現價值??！