機器學習中的降維算法：ISOMAP & MDS

降維是機器學習中很有意思的一部分，很多時候它是無監督的，能夠更好地刻畫數據，對模型效果提升也有幫助，同時在數據可視化中也有著舉足輕重的作用。
一說到降維，大家第一反應總是PCA，基本上每一本講機器學習的書都會提到PCA，而除此之外其實還有很多很有意思的降維算法，其中就包括isomap，以及isomap中用到的MDS。
ISOMAP是‘流形學習’中的一個經典算法，流形學習貢獻了很多降維算法，其中一些與很多機器學習算法也有結合，但上學的時候還看了蠻多的機器學習的書，從來沒聽說過流形學習的概念，還是在最新的周志華版的《機器學習》里才看到,很有意思，記錄分享一下。
流形學習
流形學習應該算是個大課題了，它的基本思想就是在高維空間中發現低維結構。比如這個圖：

這些點都處于一個三維空間里，但我們人一看就知道它像一塊卷起來的布，圖中圈出來的兩個點更合理的距離是A中藍色實線標注的距離，而不是兩個點之間的歐式距離（A中藍色虛線）。
此時如果你要用PCA降維的話，它 根本無法發現這樣卷曲的結構 （因為PCA是典型的 線性降維 ，而圖示的結構顯然是非線性的），最后的降維結果就會一團亂麻，沒法很好的反映點之間的關系。而流形學習在這樣的場景就會有很好的效果。
我對流形學習本身也不太熟悉，還是直接說算法吧。
ISOMAP
在降維算法中，一種方式是提供點的坐標進行降維，如PCA；另一種方式是提供點之間的距離矩陣，ISOMAP中用到的MDS(Multidimensional Scaling)就是這樣。
在計算距離的時候，最簡單的方式自然是計算坐標之間的歐氏距離，但ISOMAP對此進行了改進，就像上面圖示一樣：
1.通過kNN(k-Nearest Neighbor)找到點的k個最近鄰，將它們連接起來構造一張圖。
2. 通過計算同中各點之間的最短路徑，作為點之間的距離 i j
放入距離矩陣 D
3. 將 D 傳給經典的MDS算法，得到降維后的結果。
ISOMAP本身的 核心就在構造點之間的距離 ，初看時不由得為其拍案叫絕，類似的思想在很多降維算法中都能看到，比如能將超高維數據進行降維可視化的t-SNE。
ISOMAP效果，可以看到選取的最短路徑比較好地還原了期望的藍色實線，用這個數據進行降維會使流形得以保持：

ISOMAP算法步驟可謂清晰明了，所以本文主要著重講它中間用到的MDS算法，也是很有意思的。
經典MDS（Multidimensional Scaling）
如上文所述，MDS接收的輸入是一個距離矩陣 D
,我們把一些點畫在坐標系里：

如果只告訴一個人這些點之間的距離（假設是歐氏距離），他會丟失那些信息呢？
a. 我們對點做平移，點之間的距離是不變的。
b. 我們對點做旋轉、翻轉，點之間的距離是不變的。
所以想要從 D
還原到原始數據 是不可能的，因為只給了距離信息之后本身就丟掉了很多東西，不過不必擔心，即使這樣我們也可以對數據進行降維。
我們不妨假設：
是一個 n × 的矩陣，n為樣本數，q是原始的維度
計算一個很重要的矩陣 B ：
=         ( n × n ) = ( ) ( )         ( 是 一 組 正 交 基 )
可以看到我們通過 對 做正交變換并不會影響 B 的值，而 正交變換剛好就是對數據做旋轉、翻轉操作的 。
所以如果我們想通過 B 反算出 ，肯定是沒法得到真正的 , 而是它的任意一種正交變換后的結果。
B中每個元素的值為：
b i j = ∑ k = 1 x i k x j k
計算距離矩陣 D ，其中每個元素值為:
= ( x i ? x j ) 2 = ∑ k = 1 ( x i k ? x j k ) 2 = ∑ k = 1 x 2 i k + x 2 j k ? 2 x i k x j k = b i i + b j j ? 2 b i j \tag{dij_square}\label{dij_square}
這時候我們有的只有 D ，如果能通過 D 計算出 B ，再由 B 計算出 ，不就達到效果了嗎。
所以思路是：從D->B->X
此時我們要對X加一些限制，前面說過我們平移所有點是不會對距離矩陣造成影響的，所以我們就把 數據的中心點平移到原點 ，對X做如下限制（去中心化）：
∑ i = 1 n x i k = 0 , o r   a l l   k = 1..
所以有
∑ j = 1 n b i j = ∑ j = 1 n ∑ k = 1 x i k x j k = ∑ k = 1 x i k ∑ j = 1 n x j k = 0
類似的
∑ i = 1 n b i j = ∑ i = 1 n ∑ k = 1 x i k x j k = ∑ k = 1 x j k ( ∑ i = 1 n x i k ) = 0
可以看到即 B 的任意行(row)之和以及任意列(column)之和都為0了。
設T為 B
的trace，則有：
∑ i = 1 n 2 i j = ∑ i = 1 n b i i + b j j ? 2 b i j = + n b j j + 0
∑ j = 1 n 2 i j = ∑ j = 1 n b i i + b j j ? 2 b i j = n b i i + + 0
∑ i = 1 n ∑ j = 1 n 2 i j = 2 n
得到B：根據公式 我們有：
b i j = ? 1 2 ( 2 i j ? b i i ? b j j )
而（根據前面算 ∑ n i = 1 2 i j , ∑ n j = 1 2 i j 和 ∑ n i = 1 ∑ n j = 1 2 i j 的公式可以得到）
b i i b j j 2 n = + 1 n ∑ j = 1 n 2 i j = + 1 n ∑ i = 1 n 2 i j = 1 n 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n 2 i j
所以
= ? 1 2 ( 2 i j ? b i i ? b j j ) = ? 1 2 ( 2 i j ? 1 n ∑ j = 1 n 2 i j ? 1 n ∑ i = 1 n 2 i j + 2 n ) = ? 1 2 ( 2 i j ? 1 n ∑ j = 1 n 2 i j ? 1 n ∑ i = 1 n 2 i j + 1 n 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n 2 i j ) = ? 1 2 ( 2 i j ? 2 i ? ? 2 ? j + 2 ? ? )
可以看到 2 i ? 是 D 2 行均值； 2 ? j 是列均值； 2 ? ? 是矩陣的均值。
這樣我們就可以通過矩陣 D
得到矩陣 B 了
因為B是對稱的矩陣，所以可以通過特征分解得到：
B = Λ ? 1 = Λ
在最開始我們其實做了一個假設， 即 D 是由一個 n × 的數據生成的，如果事實是這樣的， D 會是一個對稱實矩陣，此時得到的 B 剛好會有 個非0的特征值，也就是說 B 的秩等于 ，如果我們想還原 ，就選擇前 個特征值和特征向量；如果想要達到降維的目的，就選擇制定的 p 個( p < )。
此時我們選擇前 p
個特征值和特征向量，（這一步和PCA里面很類似）：
B ? = ? Λ ? ? ? ( n × p ) , Λ ? ( p × p )
所以有（ Λ 是特征值組成的對角矩陣）：
B ? = ? Λ ? 1 2 ? Λ ? 1 2 ? = ? ?
因此
? = ? Λ ? 1 2
如果選擇 p = 的話，此時得到的 ? 就是原數據去中心化并做了某種正交變換后的值了。
MDS的例子
舉個例子：拿美國一些大城市之間的距離作為矩陣傳進去，簡單寫一寫代碼：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def mds(D,q):
    D = np.asarray(D)
    DSquare = D**2
    totalMean = np.mean(DSquare)
    columnMean = np.mean(DSquare, axis = 0)
    rowMean = np.mean(DSquare, axis = 1)
    B = np.zeros(DSquare.shape)
    for i in range(B.shape[0]):
        for j in range(B.shape[1]):
            B[i][j] = -0.5*(DSquare[i][j] - rowMean[i] - columnMean[j]+totalMean)
    eigVal,eigVec = np.linalg.eig(B)
    X = np.dot(eigVec[:,:q],np.sqrt(np.diag(eigVal[:q])))

    return X


D = [[0,587,1212,701,1936,604,748,2139,2182,543],
[587,0,920,940,1745,1188,713,1858,1737,597],
[1212,920,0,879,831,1726,1631,949,1021,1494],
[701,940,879,0,1374,968,1420,1645,1891,1220],
[1936,1745,831,1374,0,2339,2451,347,959,2300],
[604,1188,1726,968,2339,0,1092,2594,2734,923],
[748,713,1631,1420,2451,1092,0,2571,2408,205],
[2139,1858,949,1645,347,2594,2571,0,678,2442],
[2182,1737,1021,1891,959,2734,2408,678,0,2329],
[543,597,1494,1220,2300,923,205,2442,2329,0]]

label = ['Atlanta','Chicago','Denver','Houston','Los Angeles','Miami','New York','San Francisco','Seattle','Washington, DC']
X = mds(D,2)
plt.plot(X[:,0],X[:,1],'o')
for i in range(X.shape[0]):
    plt.text(X[i,0]+25,X[i,1]-15,label[i])
plt.show()
最后畫出來的圖中，各個城市的位置和真實世界中的相對位置都差不多:

注意，這個例子中其實也有‘流形’在里面，因為我們的地球其實是一個三維，而城市間距離刻畫的是在球面上的距離，所以最后如果你去看求出來的特征值，并不像前面說的那樣只有q個非0的值。數據分析師培訓