批量梯度下降與隨機梯度下降

下面的h(x)是要擬合的函數，J(theta)損失函數，theta是參數，要迭代求解的值，theta求解出來了那最終要擬合的函數h(theta)就出來了。其中m是訓練集的記錄條數，j是參數的個數。

1、批量梯度下降（BGD）的求解思路如下：

（1）將J(theta)對theta求偏導，得到每個theta對應的的梯度

（2）由于是要最小化風險函數，所以按每個參數theta的梯度負方向，來更新每個theta

（3）從上面公式可以注意到，它得到的是一個全局最優解，但是每迭代一步，都要用到訓練集所有的數據，如果m很大，那么可想而知這種方法的迭代速度??！所以，這就引入了另外一種方法，隨機梯度下降。

2、隨機梯度下降（SGD）的求解思路如下：

（1）上面的風險函數可以寫成如下這種形式，損失函數對應的是訓練集中每個樣本的粒度，而上面批量梯度下降對應的是所有的訓練樣本：

注意：cost不是cosine t 是costfunction的簡寫

（2）每個樣本的損失函數，對theta求偏導得到對應梯度，來更新theta

（3）隨機梯度下降是通過每個樣本來迭代更新一次，如果樣本量很大的情況（例如幾十萬），那么可能只用其中幾萬條或者幾千條的樣本(每次迭代隨機選取一個樣本點，只是迭代次數比BGD要多)，就已經將theta迭代到最優解了，對比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到十幾萬訓練樣本，一次迭代不可能最優，如果迭代10次的話就需要遍歷訓練樣本10次。但是，SGD伴隨的一個問題是噪音較BGD要多，使得SGD并不是每次迭代都向著整體最優化方向。對步長選擇敏感，可能會出現overshoot the minimum。

3、方法比較：

梯度下降法是批量更新算法，隨機梯度是在線算法

梯度法優化的是經驗風險，隨機梯度法優化的是泛化風險

梯度法可能陷入局部最優，隨機梯度可能找到全局最優

梯度法對步長不敏感，隨機梯度對步長選擇敏感

梯度法對初始點(參數)選擇敏感

4、對于上面的linear regression問題，與批量梯度下降對比，隨機梯度下降求解的會是最優解嗎？

（1）批量梯度下降---最小化所有訓練樣本的損失函數，使得最終求解的是全局的最優解，即求解的參數是使得風險函數最小。

（2）隨機梯度下降---最小化每條樣本的損失函數，雖然不是每次迭代得到的損失函數都向著全局最優方向， 但是大的整體的方向是向全局最優解的，最終的結果往往是在全局最優解附近。（數學證明過程）

5、梯度下降用來求最優解，哪些問題可以求得全局最優？哪些問題可能局部最優解？
最優化問題對theta的分布是unimodal，即從圖形上面看只有一個peak，所以梯度下降最終求得的是全局最優解。然而對于multimodal的問題，因為存在多個peak值，很有可能梯度下降的最終結果是局部最優。數據分析師培訓