使用Python求解最大公約數的實現方法

這篇文章主要介紹了使用Python求解最大公約數的實現方法,包括用Python表示歐幾里得算法和Stein算法的求解原理.

1. 歐幾里德算法

歐幾里德算法又稱輾轉相除法， 用于計算兩個整數a, b的最大公約數。其計算原理依賴于下面的定理：

定理： gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

證明：

a可以表示成a = kb + r, 則r = a mod b

假設d是a, b的一個公約數， 則有  d|a, d|b, 而r = a - kb, 因此d|r。

因此，d是(b, a mod b)的公約數。

加上d是(b，a mod b)的公約數，則d|b, d|r, 但是a = kb + r,因此d也是(a, b)的公約數。

因此，(a, b) 和(a, a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證。

歐幾里德的Python語言描述為：    

2. Stein算法

歐幾里德算法是計算兩個數最大公約數的傳統算法，無論是理論，還是從效率上都是很好的。但是他有一個致命的缺陷，這個缺陷只有在很大的素數時才會顯現出來。

考慮現在的硬件平臺，一般整數最多也就是64位， 對于這樣的整數，計算兩個數值就的模很簡單的。對于字長為32位的平臺，計算兩個不超過32位的整數的模，只需要一個指令周期，而計算64位以下的整數模，也不過幾個周期而已。但是對于更大的素數，這樣的計算過程就不得不由用戶來設計，為了計算兩個超過64位的整數的模，用戶也許不得不采用類似于多位除法手算過程中的試商法，這個過程不但復雜，而且消耗了很多CPU時間。對于現代密碼算法，要求計算128位以上的素數的情況比比皆是，設計這樣的程序迫切希望能夠拋棄除法和取模。
Stein算法由J.Stein 1961年提出，這個方法也是計算兩個數的最大公約數。和歐幾里德算法不同的是，Stein算法只有整數的移位和加減法，這對于程序設計者是一個福音。

為了說明Stein算法的正確性，首先必須注意到以下結論：
  gcd(a, a) = a， 也就是一個數和他自己的公約數是其自身。
  gcd(ka, kb) = k * gcd(a, b)，也就是最大公約數運算和倍乘運算可以交換，特殊的，當k=2時，說明兩個偶數的最大公約數比如能被2整除。
Stein算法的python實現如下：    
def gcd_Stein(a, b):  
  if a < b:
    a, b = b, a
  if (0 == b):
    return a
  if a % 2 == 0 and b % 2 == 0:
    return 2 * gcd_Stein(a/2, b/2)
  if a % 2 == 0:
    return gcd_Stein(a / 2, b)
  if b % 2 == 0:
    return gcd_Stein(a, b / 2)
   
  return gcd_Stein((a + b) / 2, (a - b) / 2)
3. 一般求解實現
核心代碼很簡單：    
def gcd(a, b):
if b == 0:return a
return gcd(b, a % b)
附上一個用Python實現求最大公約數同時判斷是否是素數的一般方法：
程序如下:   
#!/usr/bin/env python
 
def showMaxFactor(num):
  count = num / 2
  while count > 1:
    if num % count == 0:
      print 'largest factor of %d is %d' % (num, count)
      break    #break跳出時會跳出下面的else語句
    count -= 1
  else:
    print num, "is prime"
 
for eachNum in range(10,21):
  showMaxFactor(eachNum)
輸出如下:    
largest factor of 10 is 5
11 is prime
largest factor of 12 is 6
13 is prime
largest factor of 14 is 7
largest factor of 15 is 5
largest factor of 16 is 8
17 is prime
largest factor of 18 is 9
19 is prime
largest factor of 20 is 10