機器學習之分類算法之樸素貝葉斯分類

最近自己對機器學習比較感興趣，做個筆記，還請大牛不喜輕噴，多多指教。
樸素貝葉斯分類基于概率論中的貝葉斯原理：
P(A|B) = P(B|A)*P(A)/P(B)
所謂樸素即是特征屬性之間相互獨立的對分類結果發生影響。
所以對應的概率公式可改寫為P(c|x) = P(x|c)|p(c) / P(x)
其中:
    P(c) 是類‘先驗概率’
    P(x|c) 是樣本x對于類標記c的類條件概率（或稱似然）
    P(x)叫做證據因子
由于樸素貝葉斯假定所有特征屬性獨立，所以
    P(x|c)= P(x1,x2,…xn|c) = P(x1|c)P(x2|c) …P(xn|c)
    P(x) = P(x1) * P(x2) * … * P(xn)
所以
    P(c|x) = P(x1,x2,…xn|c) = P(x1|c)P(x2|c) …P(xn|c) * P(c) /
    p(x)。 因為 P(c) / p(x)是固定值，所以我們一般只需要計算P(x|c)，找出最大似然即可
Ps:
    對于離散屬性而言，P(x1|c) = 訓練集中屬性為x1且分類為c的數目|訓練集中分類c的數目
   

對于離散屬性而言，一般假定其概率分布為高斯分布
取個例1：
    癥狀　　職業　　　疾病
　　打噴嚏　護士　　　感冒
　　打噴嚏　農夫　　　過敏
　　頭痛　　建筑工人　腦震蕩
　　頭痛　　建筑工人　感冒
　　打噴嚏　教師　　　感冒
　　頭痛　　教師　　　腦震蕩
現在又來了是一個打噴嚏的建筑工人。請問他患上感冒的概率有多大？
由上可知
求P(感冒|打噴嚏建筑工人) = P(建筑工人|感冒) P(打噴嚏|感冒) * P(感冒) / P(建筑工人) * P(打噴嚏)
    P(建筑工人|感冒) = 1/3
    P(打噴嚏|感冒) = 2/3
    P(感冒) = 3/6 = 1/2
    P(建筑工人) = 2/6 = 1/3
    P(打噴嚏) = 3/6 = 1/2

所以

    P(感冒|打噴嚏*建筑工人) = （1/3 * 2/3 * 1/2 ） / （1/3 * 1/2） = 2/3

再取個例2（來自機器學習（周志華））：

我們要求一個:

根據樸素貝葉斯定理:
我們有
P(好瓜=是|色澤=青綠，根蒂=蜷縮，敲聲=濁響，紋理=清晰，臍部=凹陷，觸感=硬滑，密度=0.697，含糖率=0.46) =
P(色澤=青綠|好瓜=是) * P(根蒂=蜷縮|好瓜=是) * P(敲聲=濁響|好瓜=是) * P(紋理=清晰|好瓜=是) * P(臍部=凹陷|好瓜=是) * P(觸感=硬滑|好瓜=是) * P(密度=0.697|好瓜=是) * P(含糖率=0.46|好瓜=是) * P(好瓜=是) / （P(色澤=青綠) * P(根蒂=蜷縮) * P(敲聲=濁響) * P(紋理=清晰) * P(臍部=凹陷) * P(觸感=硬滑) * P(密度=0.697) * P(含糖率=0.46)）

P(好瓜=是) = 8/17
P(色澤=青綠|好瓜=是) = 3/8
…
（好瓜=是的瓜密度均值為0.574， 方差 = 0.129）
P(色澤=青綠|好瓜=是) = exp(-(0.697-0.574)^2 / 2*0.129)) / sqrt((2*π)*0.129) ≈ 1.959
…

結果P(好瓜=是|色澤=青綠，根蒂=蜷縮，敲聲=濁響，紋理=清晰，臍部=凹陷，觸感=硬滑，密度=0.697，含糖率=0.46) = 0.038
同理
P(好瓜=否|色澤=青綠，根蒂=蜷縮，敲聲=濁響，紋理=清晰，臍部=凹陷，觸感=硬滑，密度=0.697，含糖率=0.46) =0.000068

所以分類到好瓜中。

特別的，如果樣本中有，但是訓練集中沒有，這樣就有可能導致分類不合理。
例如在例1 中 如果樣本中出現職業一個打噴嚏的學生，那么最后算出來的結果，P(感冒|打噴嚏*學生) = 0,很明顯是不對的。

拉普拉斯修正修正原理很簡單：設Ni對于分類為c第i個特征屬性的可能取到的類別數目
，那么:
P(xi|c) =（ |Dc,xi|+1） / （|Dc|+Ni ）
其中 |Dc,xi| 表示訓練集中分類為c的特征屬性為xi的數目， |Dc| 表示訓練集中分類為c的數目。

在例1 經過修正后

P(建筑工人|感冒) = （1+1）/（3+4） = 2/7

P(打噴嚏|感冒) = （2+1）/（3+2） =3/5

P(感冒) = 3/6 = 1/2

P(建筑工人) = 2/6 =1/3

P(打噴嚏) = 3/6 = 1/2

P(感冒|打噴嚏建筑工人) = P(建筑工人|感冒)P(打噴嚏|感冒) * P(感冒) / P(建筑工人) * P(打噴嚏) = （2/7 * 3/71/2） / （1/31/2） = 2/35