數據科學中的陷阱：變量的數學運算合理嗎

數據科學中有各種各樣的模型，有的聽起來很簡單，比如線性回歸;有點呢，聽起來就很嚇人，比如深度學習。但是不管什么樣的模型，從本質上來講，模型都是對訓練數據做數學運算，并以此求得模型參數的估計值。
所以我們需要保證兩點：

第一，訓練數據能進行數學運算;

第二，對變量所做的數學運算是合理的。

對于第一點，通常只在一些特定的應用場景里才需要比較復雜的處理，比如自然語言處理、圖像識別等。

但對于第二點，幾乎所有的場景都會遇到。

這里將注重研究第二點“對變量所做的數學運算是合理的”，它表示的內涵是：對于變量，數字的運算有相應的實際意義，包括以下兩個方面：

? 數字的大小關系。

? 數字的四則運算。

為了更好地討論問題，將模型的自變量分類。正如前面章節所提到的，在模型里使用的變量可以分為兩類：數值型變量和類別型變量。如圖1所示。

圖1

數值型變量，在學術上也被稱為定量變量(quantitative variable)，如長度、收入、重量等。它們的數值表示具體的測量或計數。事實上，定量變量按是否連續可進一步細分為連續型變量和離散型變量。在一定區間內可以任意取值的變量叫連續型變量，比如人的身高、體重等;反之則是離散型變量，比如公司員工人數等。對于這類變量，數字間的不等關系是有實際意義的。比如對于收入，在數學上，100小于1000;在實際生活中，100元也小于1000元。數字間的四則運算也同理，這里就不贅述了。當然由于數字的等于關系和四則運算，數值型變量常常隱含著邊際效應恒定的假設，正如我們在第5章里討論的那樣。在某些場景下，這個隱含假設與現實不符，直接使用變量會影響模型的效果。

類別型變量，也被稱為定性變量(categorical variable)。它并不是表示數量上的變化，而是表示類別。比如性別、省份、學歷、產品等級等。這類變量的取值通常是用文字而非數字來表示。比如對于性別這個變量，可能的取值為男、女。因此要將文字變量轉換為數字變量，并且保證對于轉換之后的變量，數學運算是有意義的，這并不是一件容易的事情。通常針對一個類別型變量，我們會用一個數字去表示其中的一個類別，但這樣的轉換方法并不能滿足要求：

對于有序的類別型變量，比如產品等級，0表示合格、1表示良好、2表示優秀。這種情況下，0小于1的確對應著合格等級次于良好等級，但數字間的四則運算就沒有對應意義了。數學上2減1等于1，但對于產品等級，優秀減去良好還等于良好嗎?

對于無序的類別型變量，比如對于省份，0表示北京、1表示上海、2表示深圳等。數字間的大小關系和四則運算都是沒有實際意義的。

因此，在模型里直接使用類別型變量是沒有任何道理的，也會嚴重影響模型的效果。由此可見，不管是數值型變量還是類別型變量，通常都需要根據問題場景做相應變換后，再放到模型中使用。