數據挖掘算法：PageRank

1. 引言

PageRank是Sergey Brin與Larry Page于1998年在WWW7會議上提出來的，用來解決鏈接分析中網頁排名的問題。在衡量一個網頁的排名，直覺告訴我們：

1、當一個網頁被更多網頁所鏈接時，其排名會越靠前；

2、排名高的網頁應具有更大的表決權，即當一個網頁被排名高的網頁所鏈接時，其重要性也應對應提高。

對于這兩個直覺，PageRank算法所建立的模型非常簡單：一個網頁的排名等于所有鏈接到該網頁的網頁的加權排名之和：

PRi表示第i個網頁的PageRank值，用以衡量每一個網頁的排名；若排名越高，則其PageRank值越大。

網頁之間的鏈接關系可以表示成一個有向圖代表了網頁j鏈接到了網頁i；Oj為網頁j的出度，也可看作網頁j的外鏈數（ the number of out-links）。

假定P=(PR1,PR2,?,PRn)T為n維PageRank值向量，A為有向圖G所對應的轉移矩陣，

n個等式(1)可改寫為矩陣相乘：

但是，為了獲得某個網頁的排名，而需要知道其他網頁的排名，這不就等同于“是先有雞還是先有蛋”的問題了么？幸運的是，PageRank采用power iteration方法破解了這個問題怪圈。欲知詳情，請看下節分解。

2. 求解

為了對上述及以下求解過程有個直觀的了解，我們先來看一個例子，網頁鏈接關系圖如下圖所示：

那么，矩陣A即為

所謂power iteration，是指先給定一個P的初始值P0，然后通過多輪迭代求解:

最后收斂于||Pk?Pk?1||<ξ，即差別小于某個閾值。

我們發現式子(2)為一個特征方程（characteristic equation），并且解P是當特征值（eigenvalue）為1時的特征向量（eigenvector）。為了滿足(2)是有解的，則矩陣A應滿足如下三個性質：

1、stochastic matrix，則行至少存在一個非零值，即必須存在一個外鏈接（沒有外鏈接的網頁被稱為dangling pages）；

2、不可約（irreducible），即矩陣A所對應的有向圖G必須是強連通的，對于任意兩個節點u,v∈V，存在一個從u到v的路徑；

3、非周期性（aperiodic），即每個節點存在自回路。

顯然，一般情況下矩陣A這三個性質均不滿足。為了滿足性質stochastic matrix，可以把全為0的行替換為e/n，其中e為單位向量；同時為了滿足性質不可約、非周期，需要做平滑處理：

其中，d為 damping factor，常置為0與1之間的一個常數；E為單位陣。那么，式子(1)被改寫為