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統計學中為什么要對變量取對數？
2016-03-08
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統計學中為什么要對變量取對數？

對數據做一些變換的目的是它能夠讓它符合我們所做的假設，使我們能夠在已有理論上對其分析。
對數變換(log transformation)是特殊的一種數據變換方式，它可以將一類我們理論上未解決的模型問題轉化為已經解決的問題。我將說兩類比較有代表性的模型。

理論上：隨著自變量的增加，因變量的方差也增大的模型。

先給個很經典的例子，如分析美國每月電力生產數。

左邊是正常數據，可以看到隨著時間推進，電力生產也變得方差越來越大，即越來越不穩定。這種情況下常有的分析假設經常就不會滿足（誤差服從獨立同分布的正態分布，時間序列要求平穩）。


這必然導致我們尋求一種方式讓數據盡量滿足假設，讓方差恒定，即讓波動相對穩定。而這種目的可以通過對數轉換做到。

理論上，我們將這類問題抽象成這種模型，即分布的標準差與其均值線性相關。
即\sqrt{Var(Z_{t})} =\mu _{t}\times \sigma ,其中E(Z_{t}) =\mu _{t} 。
由定義可推：Z_{t}=\mu _{t}\left( 1+\frac{Z_{t}-\mu _{t}}{\mu _{t}} \right) ,利用log函數的性質：log(1+x)\approx x(當x足夠小)
那么log(Z_{t})\approx log(\mu _{t})+\frac{Z_{t}-\mu _{t}}{\mu _{t}} .
那么很容易就知道E(log(Z_{t})) \approx log( \mu _{t})和Var(log(Z_{t})) \approx \sigma ^{2} .

所以對數變換能夠很好地將隨著自變量的增加，因變量的方差也增大的模型轉化為我們熟知的問題。

經驗上：研究數據的增長率分布存在一定規律的模型。

再給個例子：實際研究中，某一研究對象自身性質難以研究，但其增長率是服從一定分布。例如說：Z_{t}=(1+X_{t}) \times Z_{t-1},其中X_{t}是每年增長率（不很大）。
我們可以考慮對數變換：log(Z_{t})-log(Z_{t-1})=log\left( \frac{Z_{t}}{Z_{t-1}} \right)=log\left( 1+X_{t} \right)\approx X_{t}
這樣，我們又可以將研究數據的增長率分布存在一定規律的模型轉化為我們熟知的問題。

在對數轉換后，人們又思考了很多其他的轉換方式（如Cox-Box轉換）。但總而言之，每一種轉換方式都是為了讓數據符合我們的假設，來對其進行分析。我所說的對數變換原因只是冰山一角，如有不正確的地方還請各位多多指正。



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