LDA(Latent Dirichlet Allocation)主題模型算法

LDA整體流程

先定義一些字母的含義：

文檔集合D，topic集合T

D中每個文檔d看作一個單詞序列< w1,w2,...,wn >，wi表示第i個單詞，設d有n個單詞。（LDA里面稱之為word bag，實際上每個單詞的出現位置對LDA算法無影響）

D中涉及的所有不同單詞組成一個大集合VOCABULARY（簡稱VOC）

LDA以文檔集合D作為輸入（會有切詞，去停用詞，取詞干等常見的預處理，略去不表），希望訓練出的兩個結果向量（設聚成k個Topic，VOC中共包含m個詞）：

對每個D中的文檔d，對應到不同topic的概率θd < pt1,..., ptk >，其中，pti表示d對應T中第i個topic的概率。計算方法是直觀的，pti=nti/n，其中nti表示d中對應第i個topic的詞的數目，n是d中所有詞的總數。

對每個T中的topic t，生成不同單詞的概率φt < pw1,..., pwm >，其中，pwi表示t生成VOC中第i個單詞的概率。計算方法同樣很直觀，pwi=Nwi/N，其中Nwi表示對應到topic t的VOC中第i個單詞的數目，N表示所有對應到topic t的單詞總數。

LDA的核心公式如下：

p(w|d) = p(w|t)*p(t|d)

直觀的看這個公式，就是以Topic作為中間層，可以通過當前的θd和φt給出了文檔d中出現單詞w的概率。其中p(t|d)利用θd計算得到，p(w|t)利用φt計算得到。
實際上，利用當前的θd和φt，我們可以為一個文檔中的一個單詞計算它對應任意一個Topic時的p(w|d)，然后根據這些結果來更新這個詞應該對應的topic。然后，如果這個更新改變了這個單詞所對應的Topic，就會反過來影響θd和φt。 LDA學習過程

LDA算法開始時，先隨機地給θd和φt賦值（對所有的d和t）。然后上述過程不斷重復，最終收斂到的結果就是LDA的輸出。再詳細說一下這個迭代的學習過程：
1）針對一個特定的文檔ds中的第i單詞wi，如果令該單詞對應的topic為tj，可以把上述公式改寫為：
pj(wi|ds) = p(wi|tj)*p(tj|ds)
先不管這個值怎么計算（可以先理解成直接從θds和φtj中取對應的項。實際沒這么簡單，但對理解整個LDA流程沒什么影響，后文再說）。
2）現在我們可以枚舉T中的topic，得到所有的pj(wi|ds)，其中j取值1~k。然后可以根據這些概率值結果為ds中的第i個單詞wi選擇一個topic。最簡單的想法是取令pj(wi|ds)最大的tj（注意，這個式子里只有j是變量），即
argmax[j]pj(wi|ds)
當然這只是一種方法（好像還不怎么常用），實際上這里怎么選擇t在學術界有很多方法，我還沒有好好去研究。
3）然后，如果ds中的第i個單詞wi在這里選擇了一個與原先不同的topic，就會對θd和φt有影響了（根據前面提到過的這兩個向量的計算公式可以很容易知道）。它們的影響又會反過來影響對上面提到的p(w|d)的計算。對D中所有的d中的所有w進行一次p(w|d)的計算并重新選擇topic看作一次迭代。這樣進行n次循環迭代之后，就會收斂到LDA所需要的結果了。