協方差：定義，屬性_數據分析師

協方差分析是建立在方差分析和回歸分析基礎之上的一種統計分析方法。方差分析是從質量因子的角度探討因素不同水平對實驗指標影響的差異。一般說來，質量因子是可以人為控制的?；貧w分析是從數量因子的角度出發，通過建立回歸方程來研究實驗指標與一個（或幾個）因子之間的數量關系。但大多數情況下，數量因子是不可以人為加以控制的。
 
協方差定義
在概率論和統計學中，協方差用于衡量兩個變量的總體誤差。而方差是協方差的一種特殊情況，即當兩個變量是相同的情況。
期望值分別為E(X) = μ 與 E(Y) = ν 的兩個實數隨機變量X與Y之間的協方差定義為：
COV(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
其中，E是期望值。它也可以表示為：
直觀上來看，協方差表示的是兩個變量總體誤差的方差，這與只表示一個變量誤差的方差不同。
如果兩個變量的變化趨勢一致，也就是說如果其中一個大于自身的期望值，另外一個也大于自身的期望值，那么兩個變量之間的協方差就是正值。
如果兩個變量的變化趨勢相反，即其中一個大于自身的期望值，另外一個卻小于自身的期望值，那么兩個變量之間的協方差就是負值。
如果X與Y是統計獨立的，那么二者之間的協方差就是0。
但是，反過來并不成立。即如果X與Y的協方差為0，二者并不一定是統計獨立的。
協方差cov(X,Y)的度量單位是X的協方差乘以Y的協方差。而取決于協方差的相關性，是一個衡量線性獨立的無量綱的數。
協方差為0的兩個隨機變量稱為是不相關的。
協方差屬性
兩個不同參數之間的方差就是協方差　若兩個隨機變量X和Y相互獨立，則E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述數學期望不為零，則X和Y必不是相互獨立的，亦即它們之間存在著一定的關系。
定義
E[(X-E(X))(Y-E(Y))]稱為隨機變量X和Y的協方差，記作COV(X，Y)，即COV(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。
協方差與方差之間有如下關系：
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X，Y)
D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2COV(X，Y)
協方差與期望值有如下關系：
COV(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。
協方差的性質：
（1）COV(X，Y)=COV(Y，X)；
（2）COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)，（a，b是常數）；
（3）COV(X1+X2，Y)=COV(X1，Y)+COV(X2，Y)。
由協方差定義，可以看出COV(X，X)=D(X)，COV(Y，Y)=D(Y)。
協方差作為描述X和Y相關程度的量，在同一物理量綱之下有一定的作用，但同樣的兩個量采用不同的量綱使它們的協方差在數值上表現出很大的差異。為此引入如下概念：
定義
ρXY=COV(X，Y)/√D(X)√D(Y)，稱為隨機變量X和Y的相關系數。
定義
若ρXY=0，則稱X與Y不相關。
即ρXY=0的充分必要條件是COV(X，Y)=0，亦即不相關和協方差為零是等價的。
定理
設ρXY是隨機變量X和Y的相關系數，則有
（1）∣ρXY∣≤1；
（2）∣ρXY∣=1充分必要條件為P{Y=aX+b}=1，（a，b為常數，a≠0）
定義
設X和Y是隨機變量，若E(X^k)，k=1，2，...存在，則稱它為X的k階原點矩，簡稱k階矩。
若E{[X-E(X)]^k}，k=1，2，...存在，則稱它為X的k階中心矩。
若E(X^kY^l)，k、l=1，2，...存在，則稱它為X和Y的k+l階混合原點矩。
若E{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l}，k、l=1，2，...存在，則稱它為X和Y的k+l階混合中心矩。
顯然，X的數學期望E(X)是X的一階原點矩，方差D(X)是X的二階中心矩，協方差COV(X，Y)是X和Y的二階混合中心矩。CDA數據分析師培訓官網