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數據挖掘中所需的概率論 高斯的推導（七）數據分析師
2014-11-29
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數據挖掘中所需的概率論 高斯的推導（七）數據分析師

論道正態，正態分布的4大數學推導

    如本blog內之前所說：凡是涉及到要證明的東西.理論，便一般不是怎么好惹的東西。絕大部分時候，看懂一個東西不難，但證明一個東西則需要點數學功底，進一步，證明一個東西也不是特別難，難的是從零開始發明創造這個東西的時候，則更顯艱難(因為任何時代，大部分人的研究所得都不過是基于前人的研究成果，前人所做的是開創性工作，而這往往是最艱難最有價值的，他們被稱為真正的先驅。牛頓也曾說過，他不過是站在巨人的肩上。你，我則更是如此)。
     上述第4節已經介紹了正態分布的歷史由來，但尚未涉及數學推導或證明，下面，參考概率論沉思錄，引用“正態分布的前世今生”等相關內容，介紹推導正太分布的4種方法，曲徑通幽，4條小徑，殊途同歸，進一步領略正態分布的美妙。
    「注：本節主要整編自rickjin寫的"正態分布的前后今生"系列」

5.1、 高斯的推導(1809)

    第一條小徑是高斯找到的，高斯以如下準則作為小徑的出發點
誤差分布導出的極大似然估計 = 算術平均值
    設真值為，而為次獨立測量值，每次測量的誤差為，假設誤差的密度函數為，則測量值的聯合概率為n個誤差的聯合概率，記為
    為求極大似然估計，令
    整理后可以得到
    令，由上式可以得到
    由于高斯假設極大似然估計的解就是算術平均，把解帶入上式，可以得到
    在上式中取，有
    由于此時有，并且是任意的，由此得到：.再在(6)式中取，并且要求，且，則有，并且
    所以得到而滿足上式的唯一的連續函數就是，從而進一步可以求解出
    由于是概率分布函數，把正規化一下就得到正態分布密度函數


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