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數據挖掘中所需的概率論（八）Herschel(1850)和麥克斯韋(1860)的推導
2014-11-29
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數據挖掘中所需的概率論（八）Herschel(1850)和麥克斯韋(1860)的推導

Herschel(1850)和麥克斯韋(1860)的推導

    第二條小徑是天文學家John Hershcel和物理學家麥克斯韋(Maxwell)發現的。1850年，天文學家Herschel在對星星的位置進行測量的時候，需要考慮二維的誤差分布，為了推導這個誤差的概率密度分布f(x,y)，Herschel設置了兩個準則：
  1. x軸和y軸的誤差是相互獨立的，即誤差的概率在正交的方向上相互獨立；
  2. 誤差的概率分布在空間上具有旋轉對稱性，即誤差的概率分布和角度沒有關系。
這兩個準則對于Herschel考慮的實際測量問題看起來都很合理。由準則1，可以得到應該具有如下形式
把這個函數轉換為極坐標，在極坐標下的概率密度函數設為，有
由準則2,具有旋轉對稱性，也就是應該和無關，所以，綜合以上，我們可以得到
取,得到,所以上式可以轉換為
令,則有
從這個函數方程中可以解出,從而可以得到的一般形式如下
而就是正態分布，而就是標準二維正態分布函數。

1860年，我們偉大的物理學家麥克斯韋在考慮氣體分子的運動速度分布的時候，在三維空間中基于類似的準則推導出了氣體分子運動的分布是正態分布。這就是著名的麥克斯韋分子速率分布定律。大家還記得我們在普通物理中學過的麥克斯韋-波爾茲曼氣體速率分布定律嗎？
    所以這個分布其實是三個正態分布的乘積。你的物理老師是否告訴過你其實這個分布就是三維正態分布？反正我是一直不知道，直到今年才明白。
    Herschel-Maxwell推導的神妙之處在于，沒有利用任何概率論的知識，只是基于空間幾何的不變性，就推導出了正態分布。美國諾貝爾物理學獎得主費曼(Feymann)每次看到一個有的數學公式的時候，就會問：圓在哪里？這個推導中使用到了，也就是告訴我們正態分布密度公式中有個，其根源來在于二維正態分布中的等高線恰好是個圓。


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