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數據挖掘中所需的概率論Landon的推導(九)_數據分析師
2014-11-29
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數據挖掘中所需的概率論Landon的推導(九)_數據分析師


Landon的推導(1941)

    第三條道是一位電氣工程師，Vernon D. Landon 給出的。1941年，Landon 研究通信電路中的噪聲電壓，通過分析經驗數據他發現噪聲電壓的分布模式很相似，不同的是分布的層級，而這個層級可以使用方差來刻畫。因此他推理認為噪聲電壓的分布函數形式是?，F在假設有一個相對于而言很微小的誤差擾動，且的分布函數是,那么新的噪聲電壓是。Landon提出了如下的準則
  1. 隨機噪聲具有穩定的分布模式
  2. 累加一個微小的隨機噪聲，不改變其穩定的分布模式，只改變分布的層級(用方差度量)
    用數學的語言描述：如果
    則有.現在我們來推導函數應該長成啥樣。按照兩個隨機變量和的分布的計算方式，的分布函數將是的分布函數和的分布函數的卷積，即有
    把在x′處做泰勒級數展開(為了方便，展開后把自變量由x′替換為x)，上式可以展開為
記,則有
    對于微小的隨機擾動,我們認為他取正值或者負值是對稱的，所以。所以有
(8)
    對于新的噪聲電壓是x′=x+e，方差由增加為,所以按照Landon的分布函數模式不變的假設，新的噪聲電壓的分布函數應該為。把在處做泰勒級數展開，得到
(9)
    比較(8)和(9)這兩個式子，可以得到如下偏微分方程
    而這個方程就是物理上著名的擴散方程(diffusion equation)，求解該方程就得到

    又一次，我們推導出了正態分布！
    概率論沉思錄作者E.T.Jaynes對于這個推導的評價很高，認為Landon的推導本質上給出了自然界的噪音形成的過程。他指出這個推導基本上就是中心極限定理的增量式版本，相比于中心極限定理來說，是一次性累加所有的因素，Landon的推導是每次在原有的分布上去累加一個微小的擾動。而在這個推導中，我們看到，正態分布具有相當好的穩定性；只要數據中正態的模式已經形成，他就容易繼續保持正態分布，無論外部累加的隨機噪聲是什么分布，正態分布就像一個黑洞一樣把這個累加噪聲吃掉。



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