R語言多項式回歸

含有x和y這兩個變量的線性回歸是所有回歸分析中最常見的一種；而且，在描述它們關系的時候，也是最有效、最容易假設的一種模型。然而，有些時候，它的實際情況下某些潛在的關系是非常復雜的，不是二元分析所能解決的，而這時，我們需要多項式回歸分析來找到這種隱藏的關系。

讓我們看一下經濟學里的一個例子：假設你要買一個具體的產品，而你要買的個數是q。如果產品的單價是p，然后，你要給y元。其實，這就是一個很典型的線性關系。而總價和產品數量呈正比例關系。下面，根據這個實例，我們敲擊行代碼來作它們的線性關系圖：

下面是它的線性關系圖：

現在，我們看到這確實是一個不錯的估計，這個圖很好的模擬成q和y的線性關系。然而，當我們在做買賣要考慮別的因素的時候，諸如這種商品要買多少，很有可能，我們可以通過詢問和討價賺得折扣，或者，當我們越來越多的買一種具體的商品的時候，我們也可能讓這種商品升價了。
這樣，我們根據上面的條件，我們在寫腳本的時候，我們要注意，總價與產品的數量不再具有線性關系了：

利用多項式回歸，我們可以擬合n>1張訂單所產生的數據的模型，并且能試著建一個非線性模型。

怎樣擬合一個多項式回歸

首先，當我們要創建一串虛擬隨機數的時候，我們必須總要記得寫set.seed(n)。這樣做，隨機數生成器總能產生同等數目的數據。

預測變量q：使用seq來快速產生等間距的序列：

預測y值：

我們現在產生一些噪音并把它添加到模型中：

對噪聲數據進行畫圖：

下面的這個圖根據觀測數據進行模擬。其中，模擬的圖的散點是藍色的，而紅色線則是信號（信號是一種術語，它通常用于表示我們感興趣的東西的通常變化趨勢）。

我們得出的模型應當是 y = aq + bq2 + c*q3 + cost。

現在，我們用R對此進行模擬。要擬合一個多項式模型，你也可以這樣用：

或者：

然而，我們要知道q，I(q^2)，I(q^3)存在相關的關系，而這些相關變量很有可能引起某些問題的產生。這時，使用poly()可以避免這個問題，因為它是創建一個垂直的多項式。因此，我喜歡第一種方法：

我們可以使用confint()來獲得一個模型的參數的置信區間。

以下是模型參數的置信區間：

現在，我們要作一個擬合VS殘差圖。如果這是一個擬合效果比較不錯的模型，我們應該看不到任何一種模型的模式特征：

整體來說，這個模型的擬合效果還是不錯的，畢竟殘差為0.8。第一和第三個訂單序列的系數，在統計學當中，是相當這樣的，這樣在我們的意料之中?，F在，我們可以使用predict()函數來獲得擬合數據以及置信區間，這樣，我們可以不按照數據來作圖。 下面是預測值和預測置信區間：

在已有的圖像中添加擬合線：

添加圖例：

下面是它的擬合圖像：

我們可以看到我們的模型在數據的擬合方面做的不錯，我們也因此感到非常滿意。

注意：多項式回歸是一種更能強大的工具?？墒?，我們也可能得到事與愿違的結果：在這個例子中，我們知道我們的信號是使用三次多項式而產生的，然而，當我們在分析實際數據的時候，我們通常對此不知情，因此，正因為多項式次數n大于4的時候會產生過度擬合的情況，我們要在這里注意一下。但你的模型取了噪音而不是信號的時候會產生過擬合的情況；甚至，當你在現有的數據進行模型優化的時候，當你要嘗試預測新的數據的時候就不好了，它會導致缺失值的產生。