• 皮爾遜系數(Pearson Correlation Coefficient)

1. 當相關系數為0時，X和Y兩變量無關系。
2. 當X的值增大（減?。?，Y值增大（減?。?，兩個變量為正相關，相關系數在0.00與1.00之間。
3. 當X的值增大（減?。?，Y值減?。ㄔ龃螅?，兩個變量為負相關，相關系數在-1.00與0.00之間。

OK，接下來，咱們來重點了解下皮爾遜相關系數。

    在統計學中，皮爾遜積矩相關系數（英語：Pearson product-moment correlation coefficient，又稱作 PPMCC或PCCs, 用r表示）用于度量兩個變量X和Y之間的相關（線性相關），其值介于-1與1之間。

通常情況下通過以下取值范圍判斷變量的相關強度：
相關系數     0.8-1.0     極強相關
                 0.6-0.8     強相關
                 0.4-0.6     中等程度相關
                 0.2-0.4     弱相關
                 0.0-0.2     極弱相關或無相關

在自然科學領域中，該系數廣泛用于度量兩個變量之間的相關程度。它是由卡爾·皮爾遜從弗朗西斯·高爾頓在19世紀80年代提出的一個相似卻又稍有不同的想法演變而來的。這個相關系數也稱作“皮爾森相關系數r”。

(1)皮爾遜系數的定義：

兩個變量之間的皮爾遜相關系數定義為兩個變量之間的協方差和標準差的商：

以上方程定義了總體相關系數, 一般表示成希臘字母ρ(rho)?；跇颖緦f方差和方差進行估計，可以得到樣本標準差, 一般表示成r：

一種等價表達式的是表示成標準分的均值?；?Xi, Yi)的樣本點，樣本皮爾遜系數是

               其中、 及 ，分別是標準分、樣本平均值和樣本標準差。

或許上面的講解令你頭腦混亂不堪，沒關系，我換一種方式講解，如下：

假設有兩個變量X、Y，那么兩變量間的皮爾遜相關系數可通過以下公式計算：

• 公式一：

• 公式二：
• 公式三：
• 公式四：

以上列出的四個公式等價，其中E是數學期望，cov表示協方差，N表示變量取值的個數。

(2)皮爾遜相關系數的適用范圍
當兩個變量的標準差都不為零時，相關系數才有定義，皮爾遜相關系數適用于：

1. 兩個變量之間是線性關系，都是連續數據。
2. 兩個變量的總體是正態分布，或接近正態的單峰分布。
3. 兩個變量的觀測值是成對的，每對觀測值之間相互獨立。

(3)如何理解皮爾遜相關系數

rubyist：皮爾遜相關系數理解有兩個角度

其一, 按照高中數學水平來理解, 它很簡單, 可以看做將兩組數據首先做Z分數處理之后, 然后兩組數據的乘積和除以樣本數，Z分數一般代表正態分布中, 數據偏離中心點的距離.等于變量減掉平均數再除以標準差.(就是高考的標準分類似的處理)

樣本標準差則等于變量減掉平均數的平方和，再除以樣本數，最后再開方，也就是說，方差開方即為標準差，樣本標準差計算公式為：

如上圖，對于沒有中心化的數據, 相關系數與兩條可能的回歸線y=gx(x) 和 x=gy(y) 夾角的余弦值一致。

對于沒有中心化的數據 (也就是說, 數據移動一個樣本平均值以使其均值為0), 相關系數也可以被視作由兩個隨機變量 向量 夾角 的 余弦值（見下方）。

舉個例子，例如，有5個國家的國民生產總值分別為 10, 20, 30, 50 和 80 億美元。 假設這5個國家 (順序相同) 的貧困百分比分別為 11%, 12%, 13%, 15%, and 18% 。 令 x 和 y 分別為包含上述5個數據的向量: x = (1, 2, 3, 5, 8) 和 y = (0.11, 0.12, 0.13, 0.15, 0.18)。
利用通常的方法計算兩個向量之間的夾角  (參見 數量積), 未中心化 的相關系數是:

我們發現以上的數據特意選定為完全相關: y = 0.10 + 0.01 x。 于是，皮爾遜相關系數應該等于1。將數據中心化 (通過E(x) = 3.8移動 x 和通過 E(y) = 0.138 移動 y ) 得到 x = (?2.8, ?1.8, ?0.8, 1.2, 4.2) 和 y = (?0.028, ?0.018, ?0.008, 0.012, 0.042), 從中

(4)皮爾遜相關的約束條件

從以上解釋, 也可以理解皮爾遜相關的約束條件:

• 1 兩個變量間有線性關系
• 2 變量是連續變量
• 3 變量均符合正態分布,且二元分布也符合正態分布
• 4 兩變量獨立

在實踐統計中,一般只輸出兩個系數,一個是相關系數,也就是計算出來的相關系數大小,在-1到1之間;另一個是獨立樣本檢驗系數,用來檢驗樣本一致性。