k均值聚類(K-means)_k means聚類算法

在前面的文章中，介紹了三種常見的分類算法。分類作為一種監督學習方法，要求必須事先明確知道各個類別的信息，并且斷言所有待分類項都有一個類別與之對應。但是很多時候上述條件得不到滿足，尤其是在處理海量數據的時候，如果通過預處理使得數據滿足分類算法的要求，則代價非常大，這時候可以考慮使用聚類算法。聚類屬于無監督學習，相比于分類，聚類不依賴預定義的類和類標號的訓練實例。本文首先介紹聚類的基礎——距離與相異度，然后介紹一種常見的聚類算法——k均值和k中心點聚類，最后會舉一個實例：應用聚類方法試圖解決一個在體育界大家頗具爭議的問題——中國男足近幾年在亞洲到底處于幾流水平。

相異度計算

在正式討論聚類前，我們要先弄清楚一個問題：如何定量計算兩個可比較元素間的相異度。用通俗的話說，相異度就是兩個東西差別有多大，例如人類與章魚的相異度明顯大于人類與黑猩猩的相異度，這是能我們直觀感受到的。但是，計算機沒有這種直觀感受能力，我們必須對相異度在數學上進行定量定義。

設，其中X，Y是兩個元素項，各自具有n個可度量特征屬性，那么X和Y的相異度定義為：，其中R為實數域。也就是說相異度是兩個元素對實數域的一個映射，所映射的實數定量表示兩個元素的相異度。

下面介紹不同類型變量相異度計算方法。

標量

標量也就是無方向意義的數字，也叫標度變量?，F在先考慮元素的所有特征屬性都是標量的情況。例如，計算X={2,1,102}和Y={1,3,2}的相異度。一種很自然的想法是用兩者的歐幾里得距離來作為相異度，歐幾里得距離的定義如下：

其意義就是兩個元素在歐氏空間中的集合距離，因為其直觀易懂且可解釋性強，被廣泛用于標識兩個標量元素的相異度。將上面兩個示例數據代入公式，可得兩者的歐氏距離為：

除歐氏距離外，常用作度量標量相異度的還有曼哈頓距離和閔可夫斯基距離，兩者定義如下：

曼哈頓距離：

閔可夫斯基距離：

歐氏距離和曼哈頓距離可以看做是閔可夫斯基距離在p=2和p=1下的特例。另外這三種距離都可以加權，這個很容易理解，不再贅述。

下面要說一下標量的規格化問題。上面這樣計算相異度的方式有一點問題，就是取值范圍大的屬性對距離的影響高于取值范圍小的屬性。例如上述例子中第三個屬性的取值跨度遠大于前兩個，這樣不利于真實反映真實的相異度，為了解決這個問題，一般要對屬性值進行規格化。所謂規格化就是將各個屬性值按比例映射到相同的取值區間，這樣是為了平衡各個屬性對距離的影響。通常將各個屬性均映射到[0,1]區間，映射公式為：

其中max(ai)和min(ai)表示所有元素項中第i個屬性的最大值和最小值。例如，將示例中的元素規格化到[0,1]區間后，就變成了X’={1,0,1}，Y’={0,1,0}，重新計算歐氏距離約為1.732。

二元變量

所謂二元變量是只能取0和1兩種值變量，有點類似布爾值，通常用來標識是或不是這種二值屬性。對于二元變量，上一節提到的距離不能很好標識其相異度，我們需要一種更適合的標識。一種常用的方法是用元素相同序位同值屬性的比例來標識其相異度。

設有X={1,0,0,0,1,0,1,1}，Y={0,0,0,1,1,1,1,1}，可以看到，兩個元素第2、3、5、7和8個屬性取值相同，而第1、4和6個取值不同，那么相異度可以標識為3/8=0.375。一般的，對于二元變量，相異度可用“取值不同的同位屬性數/單個元素的屬性位數”標識。

上面所說的相異度應該叫做對稱二元相異度?，F實中還有一種情況，就是我們只關心兩者都取1的情況，而認為兩者都取0的屬性并不意味著兩者更相似。例如在根據病情對病人聚類時，如果兩個人都患有肺癌，我們認為兩個人增強了相似度，但如果兩個人都沒患肺癌，并不覺得這加強了兩人的相似性，在這種情況下，改用“取值不同的同位屬性數/(單個元素的屬性位數-同取0的位數)”來標識相異度，這叫做非對稱二元相異度。如果用1減去非對稱二元相異度，則得到非對稱二元相似度，也叫Jaccard系數，是一個非常重要的概念。

分類變量

分類變量是二元變量的推廣，類似于程序中的枚舉變量，但各個值沒有數字或序數意義，如顏色、民族等等，對于分類變量，用“取值不同的同位屬性數/單個元素的全部屬性數”來標識其相異度。

序數變量

序數變量是具有序數意義的分類變量，通?？梢园凑找欢樞蛞饬x排列，如冠軍、亞軍和季軍。對于序數變量，一般為每個值分配一個數，叫做這個值的秩，然后以秩代替原值當做標量屬性計算相異度。

向量

對于向量，由于它不僅有大小而且有方向，所以閔可夫斯基距離不是度量其相異度的好辦法，一種流行的做法是用兩個向量的余弦度量，其度量公式為：

其中||X||表示X的歐幾里得范數。要注意，余弦度量度量的不是兩者的相異度，而是相似度！

聚類問題

在討論完了相異度計算的問題，就可以正式定義聚類問題了。

所謂聚類問題，就是給定一個元素集合D，其中每個元素具有n個可觀察屬性，使用某種算法將D劃分成k個子集，要求每個子集內部的元素之間相異度盡可能低，而不同子集的元素相異度盡可能高。其中每個子集叫做一個簇。

與分類不同，分類是示例式學習，要求分類前明確各個類別，并斷言每個元素映射到一個類別，而聚類是觀察式學習，在聚類前可以不知道類別甚至不給定類別數量，是無監督學習的一種。目前聚類廣泛應用于統計學、生物學、數據庫技術和市場營銷等領域，相應的算法也非常的多。本文僅介紹一種最簡單的聚類算法——k均值（k-means）算法。

K-means算法及其示例

k均值算法的計算過程非常直觀：

1、從D中隨機取k個元素，作為k個簇的各自的中心。

2、分別計算剩下的元素到k個簇中心的相異度，將這些元素分別劃歸到相異度最低的簇。

3、根據聚類結果，重新計算k個簇各自的中心，計算方法是取簇中所有元素各自維度的算術平均數。

4、將D中全部元素按照新的中心重新聚類。

5、重復第4步，直到聚類結果不再變化。

6、將結果輸出。

由于算法比較直觀，沒有什么可以過多講解的。下面，我們來看看k-means算法一個有趣的應用示例：中國男足近幾年到底在亞洲處于幾流水平？

今年中國男足可算是杯具到家了，幾乎到了過街老鼠人人喊打的地步。對于目前中國男足在亞洲的地位，各方也是各執一詞，有人說中國男足亞洲二流，有人說三流，還有人說根本不入流，更有人說其實不比日韓差多少，是亞洲一流。既然爭論不能解決問題，我們就讓數據告訴我們結果吧。

下圖是我采集的亞洲15只球隊在2005年-2010年間大型杯賽的戰績（由于澳大利亞是后來加入亞足聯的，所以這里沒有收錄）。

其中包括兩次世界杯和一次亞洲杯。我提前對數據做了如下預處理：對于世界杯，進入決賽圈則取其最終排名，沒有進入決賽圈的，打入預選賽十強賽賦予40，預選賽小組未出線的賦予50。對于亞洲杯，前四名取其排名，八強賦予5，十六強賦予9，預選賽沒出現的賦予17。這樣做是為了使得所有數據變為標量，便于后續聚類。

下面先對數據進行[0,1]規格化，下面是規格化后的數據：

接著用k-means算法進行聚類。設k=3，即將這15支球隊分成三個集團。

現抽取日本、巴林和泰國的值作為三個簇的種子，即初始化三個簇的中心為A：{0.3, 0, 0.19}，B：{0.7, 0.76, 0.5}和C：{1, 1, 0.5}。下面，計算所有球隊分別對三個中心點的相異度，這里以歐氏距離度量。下面是我用程序求取的結果：

從做到右依次表示各支球隊到當前中心點的歐氏距離，將每支球隊分到最近的簇，可對各支球隊做如下聚類：

中國C，日本A，韓國A，伊朗A，沙特A，伊拉克C，卡塔爾C，阿聯酋C，烏茲別克斯坦B，泰國C，越南C，阿曼C，巴林B，朝鮮B，印尼C。

第一次聚類結果：

A：日本，韓國，伊朗，沙特；

B：烏茲別克斯坦，巴林，朝鮮；

C：中國，伊拉克，卡塔爾，阿聯酋，泰國，越南，阿曼，印尼。

下面根據第一次聚類結果，調整各個簇的中心點。

A簇的新中心點為：{(0.3+0+0.24+0.3)/4=0.21, (0+0.15+0.76+0.76)/4=0.4175, (0.19+0.13+0.25+0.06)/4=0.1575} = {0.21, 0.4175, 0.1575}

用同樣的方法計算得到B和C簇的新中心點分別為{0.7, 0.7333, 0.4167}，{1, 0.94, 0.40625}。

用調整后的中心點再次進行聚類，得到：

第二次迭代后的結果為：

中國C，日本A，韓國A，伊朗A，沙特A，伊拉克C，卡塔爾C，阿聯酋C，烏茲別克斯坦B，泰國C，越南C，阿曼C，巴林B，朝鮮B，印尼C。

結果無變化，說明結果已收斂，于是給出最終聚類結果：

亞洲一流：日本，韓國，伊朗，沙特

亞洲二流：烏茲別克斯坦，巴林，朝鮮

亞洲三流：中國，伊拉克，卡塔爾，阿聯酋，泰國，越南，阿曼，印尼

看來數據告訴我們，說國足近幾年處在亞洲三流水平真的是沒有冤枉他們，至少從國際杯賽戰績是這樣的。

其實上面的分析數據不僅告訴了我們聚類信息，還提供了一些其它有趣的信息，例如從中可以定量分析出各個球隊之間的差距，例如，在亞洲一流隊伍中，日本與沙特水平最接近，而伊朗則相距他們較遠，這也和近幾年伊朗沒落的實際相符。另外，烏茲別克斯坦和巴林雖然沒有打進近兩屆世界杯，不過憑借預算賽和亞洲杯上的出色表現占據B組一席之地，而朝鮮由于打入了2010世界杯決賽圈而有幸進入B組，可是同樣奇跡般奪得2007年亞洲杯的伊拉克卻被分在三流，看來亞洲杯冠軍的分量還不如打進世界杯決賽圈重啊。其它有趣的信息，有興趣的朋友可以進一步挖掘。