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回歸系列（二）| 最小二乘法真有那么復雜嗎？
2020-08-31
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作者：丁點helper

來源： 丁點幫你

上一篇文章給大家留了一個思考題，問在假設檢驗時下面哪種寫法是正確的：

大家都答對了嗎？正確答案是“A”。

樣本與總體回歸系數的區分

這一點內容看似很簡單，但其實經常有同學犯糊涂，所以，還是值得專門說一下。

回歸系數的計算

借用我們講相關分析時的例子：探討糧食中某種毒素（DON）對骨關節炎評分（OAP）的影響，數據如下：

無論是做回歸還是相關分析，我們拿到數據的第一步應該是先畫一個散點圖：以因變量Y為縱軸，以自變量X為橫軸（如果有多個自變量，則讓Y逐一與X畫散點圖）。

本例我們研究的是DON對OAP的影響，所以以OAP為Y，以DON為X，散點圖如下：

如上圖，兩變量之間正向的線性關系還是很明顯的，隨著DON的提升，OAP也有上升的趨勢，所以推測，糧食中DON毒素可能會導致患者關節炎的發生。

回歸方程在幾何上是一條直線，所以問題歸結于怎么樣找到一條這樣的直線。

因為我們希望回歸直線盡可能最優，所以就需要做出的直線離各散點的綜合距離最小。

如下圖中的u1、u2，代表了散點與回歸直線的距離。

如下圖，我們根據肉眼觀察，對關節炎的數據畫出來兩條線：藍線和紅線，問題是到底選擇哪一條線呢？

肉眼觀察肯定不靠譜，只能通過數學計算來比較判斷，如何判斷呢？本質上這是一個求最小值的問題。

上面說過了，我們希望得到的直線離所有散點的綜合距離最小，怎么把這句話轉變成數學計算呢？

所謂的“綜合距離”最小，用數學的語言來表達就是讓下面這個式子取最小值

綜合起來可以寫成：

別被復雜的式子唬住，其實這里只需要初中或高中的數學就能解決。耐心的小伙伴可以嘗試展開一下，其實就是一個二次函數。

求解出來的結果是：

以上這個過程就是大家總能聽到的“最小二乘法”。

回到我們關節炎的例子，最后得出其回歸方程為：


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