作者：丁點helper

來源：丁點幫你

前幾天的文章，我們聚焦在回歸分析，今天來看看在回歸分析中常常要研究的一類難點問題——交互作用的探究。

交互（interaction），字面上不太好理解，但是從數學表達上卻很簡單。

如果想要研究兩個自變量如X1和X2的交互作用，通常的做法就是將兩個變量相乘，即X1*X2，然后把乘積項納入到回歸方程。

操作起來很簡單，但交互項的納入對于回歸系數的解讀卻帶來了新的問題。

以一個很經典的例子來說明。

含交互項的回歸方程

多重線性回歸，一般是指有多個自變量X，只有一個因變量Y。前面我們主要是以簡單線性回歸為例在介紹，兩者的差距主要在于自變量X的數量，在只有一個X時，就稱簡單線性回歸。

我們想通過線性回歸研究教育程度、性別對個人收入的影響，首先，不納入交互項的回歸方程為：

其中，Y表示收入，X1表示“教育年限”（定量變量），X2表示“性別”（分類變量，用”0“為女性；“1“表示男性）。

通過估計以上回歸方程X1和X2的回歸系數，β1和β2，即可定量地衡量出教育程度、性別對收入的影響。

比如，β1的含義即為：控制性別后，教育程度每增加一年，個人收入增加的量。

這是我們前面講過的，很好理解。

現在，我們希望考慮”教育程度“和”性別“的交互作用，因此將把兩個變量的交互項納入回歸方程，即為：

其中，X1X2代表交互項，這里也屬于多重線性回歸的范疇，因為我們可以令X3=X1X2，將其視為一個新變量，則上式就可以看做是擁有三個自變量的一般線性回歸。

思考：現在方程中X1的回歸系數β1還能按照上面的含義來解讀嗎？

我們嘗試做一下。

要衡量X1對Y的作用，歸根結底，是要看，當X1變化一個單位時，Y怎么變化（明白這一點很基礎也很重要）。

因此，我們可以這樣來做：

當X1=0時（代入有交互項的方程，下同），

由此，可以發現，加入交互項后，X1（即教育程度），每變化一個單位（比如增加一年），收入的變化不僅取決于β1，而且還取決于β3和X2。

因此，我們不能再直接將β1解讀為教育程度對收入的影響。

同理，β2也不能直接解讀為性別對收入的影響。

在這樣的情況下，到底應該如何來對這三個回歸系數進行解讀呢？思路其實很簡單，訣竅就是分別讓X1和X2等于0。

由此來看，加入交互作用后，回歸系數（β1和β2）的解讀需要加入一定的限定條件，比如”教育程度為0“、或者特定為“女性人群“。

這實際上是出于簡單的數學考慮：因為讓一個變量等于0，我們就可以消除交互項，然后單獨地分析另一個變量的效應，這種思路特別方便，大家不妨在自己的研究中使用。

說完β1和β2，那β3怎么解讀呢？嚴格而言，β3才是真正交互項的系數，才是做交互研究最關注的部分。

交互項回歸系數的解讀

多重線性回歸，一般是指有多個自變量X，只有一個因變量Y。前面我們主要是以簡單線性回歸為例在介紹，兩者的差距主要在于自變量X的數量，在只有一個X時，就稱簡單線性回歸。

上面我們講了β1的含義是”對于女性人群，教育程度每增加一年，其收入的增加量“。很自然的想，那對于男性人群，教育每增加一年，收入增加多少呢？

前面我們計算了，X1從0變化到1時，

我們知道，X2表示的是性別這個變量，X2=1代表男性，那如果我們直接把X2=1代入上式呢：

由此，我們就得到了：對于X2=1（即男性人群），當X1增加一個單位時，Y的變化量為（β1 + β3）。

因此，可以把（β1 + β3）解讀為：對于男性人群，教育程度每增加一年，收入的增加量。

把男性和女性放在一起對照看一下：

β1：對于女性人群，教育程度每增加一年，其收入的增加量。

β1 + β3：對于男性人群，教育程度每增加一年，其收入的增加量。

現在，β3（即交互項的回歸系數）的含義是不是一目了然。它表示，教育程度每增加一年時，男性和女性收入增加的差值。

代入具體的數字看起來會更容易。

比如，我們讓β1 = 200；β2 = 300；β3 = 50，就可以很清楚地看到：

對于女性來講，教育程度每增加一年，收入會增加200（β1 的含義）；

對于男性來講，教育程度每增加一年，收入會增加250（β1 + β3的含義）。

而β3就表示，同樣增加一年的教育程度，收入的增加量，男性比女性多50。

這多出來的50就衡量了性別和教育的交互作用。

理清了這三個系數的意義，我們再來看交互作用的真正含義，就會更加明朗：

交互作用實際上影響的是一種關系，什么關系？X1和Y的關系，或者X2和Y的關系。

此話怎講？我們看，當不加入交互項的時候，無論男性還是女性，教育程度增加一年，收入的增加量是一樣的，都為β1。

這里的β1 可以視作教育程度對收入的影響，實際上是兩者相關關系的量化。

但是，加入交互作用后，教育程度增加一年，收入的增加量，男性和女性就不一樣了，一個是β1 + β3，另一個是β1。

不難發現，教育程度對收入的影響隨著性別的變化發生了變化。

所以，從本質上看，交互項衡量的了性別對【教育程度與收入關系】的影響。用括號括起來就是希望大家能看的更清楚：性別和教育的交互項影響的既不是教育程度也不是收入，而是它們兩者的關系。

如果數學基礎不錯，則可以將“【教育程度與收入關系】”理解為回歸方程的X1（教育程度）的斜率（斜率的定義就是X1變化一個單位，對應的Y的變化量），所以，本質上，交互項影響的是斜率！

同樣地，交互項因為是乘積的形式，所以它也衡量了教育程度對（性別與收入關系）的影響。

如何進行分析，做法其實完全一致，首先分別計算X2=0和X2=1時候，Y的變化量（代表了男女收入的差異）：

我們知道X2表示性別，所以，根據上式，可以將β3解讀為：教育程度的變化，帶來的男女收入水平差異的變化，注意這里說的是”差異“，即男性工資高于女性的那一部分（如果β3是負數，則表示男性工資更低）。

因此，綜合來看，交互項是可以從兩個角度去理解和解讀的，這符合它進入回歸方程的方式（X1X2）。

針對具體的問題，我們都可以采取上面說的這種”歸零法“去分析和拆解，即分別一個自變量等于0，然后分析另一個自變量回歸系數的含義。

同時，專門對于交互項的解讀，我們要知道它刻畫的其實是對回歸斜率或者回歸效應值（β）的影響。

比如教育程度和性別的交互，既影響了收入對教育程度的斜率，也影響了收入對性別的斜率。