一、基本概念

1.什么是因子分析？

主成分分析時一般情況下不能對主成分所代表含義進行業務上的解讀，因為主成分方向上一般不會恰好某些變量權重大， 而另外一些變量權重都小，這也表現在主成分權重的形成的散點圖會偏離坐標軸。如果可以將主成分的坐標軸進行旋轉， 使一些變量的權重的絕對值在一個主成分上達到最大，而在其他主成分上絕對值最小，這樣就達到了變量分類的目的。對 應地，這種維度分析方法被稱為因子分析。 因子分析是一類常用的連續變量降維并進行維度分析的方法，其經常采用主成分法作為其因子載荷矩陣的估計方法，在特 征向量方向上，使用特征值的平方根進行加權，最后通過因子旋轉，使得變量的權重在不同因子上更加兩極分化。常用最 大方差法進行因子旋轉，這種方法是一種正交旋轉。

二、模型設置

1.正交因子模型

2.因子載荷矩陣

因子載荷矩陣的估計是因子分析的主要問題之一。模型中 L 稱為因子載荷矩陣，因子分析是從對 L 的估計入手的，可 以從兩方面來理解L 的含義：

（1）將其看做是對因子進行線性組合時的系數。假設相親對象評分的因子載荷矩陣如下：

可以得到，父母評價X1=0.4*魅力F1+0.5*財務F2+0.2*責任心F3，同事評價與此類似，是通過對三個因子進行線性組 合獲得的，組合的系數就是因子載荷矩陣L。

（2）因子載荷矩陣L還可以看作是是p維空間的一組單位正交向量，把這組向量當做坐標軸，隱含的因子F投影到這些 向量上的值即 LF，LF與 X-μ 之間僅相差一個干擾項。因此如果 X 是標準化過的 （μ=0），再排除干擾項，可以認為在L這個參考系中表示的F與在標準坐標系（單位陣）中的表示的X是等價的。

三、算法解析

1.因子分析的計算過程大致可分為三步

（1）估計因子載荷矩陣

（2）進行因子旋轉

（3）估計公共因子（因子得分）

2.因子載荷矩陣的估計

在正交因子模型中，假定公共因子彼此不相關且具有單位方差，這種情況下，因子載荷矩陣及特殊因子的方差需要滿足下式。

有了因子載荷矩陣，可以根據其元素值的大小來判斷變量在公共因子中的負荷量大小，并以此對公共因子代表的可能含 義進行解釋。假如對本章引例的評價數據進行因子分析，得到因子載荷矩陣如下，那怎么使用載荷矩陣的值來對公共因 子的業務含義做出解釋呢？

注：因子載荷矩陣L，代表了變量X在公共因子F上的“載荷”。

因子分析的目的不僅是要找出公共因子，更重要的是要能解釋每個公共因子的業務意義。通過上面的分析我們可以看到， 如果載荷矩陣的每列中，各元素的絕對值越向0或1“兩極分化”，那么因子負載的代表變量就會比較突出，便于我們進 行解釋。相反，如果各元素間差別不大的話，則不易進行解釋，例如上例第2列中有不少載荷在0.5附近的中等載荷，進 行解釋時容易導致公共因子的意義含糊不清。因此，為了使載荷矩陣每列元素更加向兩極轉化，需要對因子載荷矩陣施 行旋轉變換。

根據正交矩陣的性質，正交旋轉后的因子軸能保持原有的夾角不變，如下所示：

對主成分法估計的初始因子載荷進行最大方差旋轉，結果如下：

根據載荷矩陣，以父母評價X1為例，可以得到其由因子進行綜合的模型為： 父母評價X1 = 0.897*F1– 0.0395*F2 – 0.163*F3

四、因子得分

我們獲得了因子載荷矩陣L后，可以對因子F代表的含義進行解釋，但因子F仍然是未知的，因此需要使用樣本對其進行估 計，這個估計值就是所謂因子得分。

如果我們使用主成分法估計因子載荷矩陣，那么計算因子得分時，通常使用最小二乘法，即最小化

德爾菲打分法（Delphi method）是一種通過多位專家的獨立的反復主觀判斷，獲得相對客觀的信息、意見和見解的打 分方法。相比較于因子分析，德爾菲打分法較為主觀。

五、例題精講

1.下列關于因子分析說法正確的是？

A. 主成分法是常用的因子載荷矩陣的估計方法

B. 最大方差旋轉是應用最廣泛的因子旋轉方法，這是一種斜交旋轉

C. 在選擇合適的因子數量時，可以適當放寬對于特征根大小的選擇要求，大于0.7時就可以考慮保留

D. 因子分析作為維度分析的手段，是構造合理的聚類模型和穩健的分類模型的必然步驟

答案：ACD 解析：主成分法的得分系數矩陣中，每個分量與相應特征值的平方根進行乘積，組成的新矩陣可以作為因子載荷矩陣的估計， 這種方法稱為主成分法，因此A正確；因子旋轉時采用最大方差旋轉是一種正交旋轉，也是最常用的因子旋轉方法，因此B錯 誤；C結論為經驗結論，因子分析中一般可以放寬對特征根大小的選擇要求，因此正確；聚類模型往往要保證每個聚類變量權 重的平衡，因此事先經常采用因子分析對變量進行降維，分類模型中解釋變量的共線性會導致模型不穩定，因此也經常事先 對解釋變量進行因子分析。因此D正確。

2.關于主成分與因子分析闡述正確的是？

A. 因子分析中是把因子表示成各個變量的線性組合

B. 主成分分析中是把主成分表示成各個變量的線性組合

C. 因子分析需要構造因子模型：用潛在的假想變量和隨機影響變量的線性組合表示原始變量

D. 因子分析和主成分分析只有在線性表示上是一致的

答案：BC 解析：熟知兩種方法的定義。

3.下列關于主成分分析與因子分析的異同點描述正確的是？

A. 兩種分析方法都是一種降維、簡化數據的技術

B. 主成分分析是從顯在變量去提煉潛在主成分的過程

C. 主成分分析需要構造分析模型而因子分析不需要構造因子模型

D. 因子分析從本質上是將原指標進行了綜合和歸納

答案：A 解析：主成分分析的本質上一種線性變換，是將原指標綜合、歸納。而因子分析是從顯在變量去提煉潛在因子的過程，是將原指標進 行分解、演繹。所以BD錯誤。C項中正確的描述是主成分分析不需要構造分析模型而因子分析要構造因子模型。

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