一、基本概念

1.線性回歸的出現

當被解釋變量和解釋變量都為連續型，且存在線性關系時，可以采用線性回歸對被解釋變量進行預測。

多元線性回歸的出現是非常自然的，由于在一元線性回歸中，因變量只能依賴一個自變量來解釋，換一句話說，就是我們 只能在一維空間中來解釋世界，這是十分糟糕的，畢竟事物之間的關聯是非常復雜的，只用其中一個變量來解釋，總是顯 得那么蒼白和無力。

下面我們就來以“房價”和“客戶價值”為因變量，探索一下影響他們的自變量。首先，影響房價的因素有哪些呢？

因此，我們不難發現，在用更多變量來解釋因變量，顯然會更加全面、豐富、合理和科學。與一元線性回歸類似，一個含

有k個自變量的多元線性回歸模型可以表示為：

y= Bo+Bixl+B2x2++bx+8

,β，B1,B,,為模型參數，E為誤差項，來解釋不能被自變量線性關系解釋的部分。

二、基本假設

多元線性回歸的基本假設

三、檢驗方法

1.線性關系假設——線性關系檢驗

2.線性關系檢驗——回歸系數檢驗

3.期望為0的假設

（1）假設檢驗方法：（圖形法）可以直接繪制散點圖，查看殘差是否對稱分布在0的兩側；（統計檢驗）可以用假設檢驗 中的t檢驗方法，其原假設為H0：E=0，具體操作將在案例中展示。

（2）假設失效的影響：如果殘差的期望不等于0，而等于其他的某個常數，那么這個常數就應該出現在多元線性回歸的常 數項內。

（3）假設失效解決方法：如果失效，考慮是否強制將常數項設置為，或考慮異常值問題。

4.同方差假設

假設檢驗方法：（圖形法）對殘差以及因變量的擬合值作圖。

如果沒有異方差，那么殘差和因變量擬合值構成的散點應該是完全 隨機的，其趨勢線應該是幾乎是水平的。上圖中間的趨勢線存在彎 曲，即存在一定的異方差。

除了作圖，我們也可以選擇Breusch－Pagan檢驗，注意該檢驗的原假設是同方差，備擇假設是異方差，這 樣讀者根據輸出的P值就可以直觀判斷了。

假設失效的影響：如果誤差是異方差的，那么OLS估計的標準誤差將不可靠。

假設失效解決方法：克服異方差性的影響，我們可以嘗試對因變量做一些非線性變換，如等等。

5.正態性假設

假設檢驗方法：（圖形法）做QQ圖。

QQ圖的解讀十分簡單，如果散點在直線上或者直線附近，那么我 們就可以認為數據是正態分布的，否則就任務不是正態分布。 對于正態分布的統計檢驗，我們可以選擇KS檢驗（Kolmogorov– Smirnov test），其原假設：數據是正態分布的。這樣讀者可以直 接根據輸出的P值來對檢驗結果進行分析。

假設失效的影響：如果誤差項不是正態分布的，則OLS估計的標準誤差將不可靠。然而對于正態性假設對于線性回歸的 重要性，目前各方還有一些有價值的觀點。

假設失效解決方法：關注樣本中兩端的異常值是否合理，如異常值不合理，可以考慮刪除異常值。也可以嘗試對變量做 非線性變換。

6.橫截面和時間序列數據在回歸建模上的差異

橫截面是指在同一時間平面上的數據，例如2013年各個上市公司的財報數據，如果研究其不同變量之間的線性關系，可 以用多元線性回歸模型。但是如果數據包含時間趨勢，例如2001-2018年全國各個省市的宏觀經濟指標數據，如果要研 究不同宏觀指標之間的線性影響，就要用面板回歸模型了（計量模型的一種）。

四、參數估計

1.多元線性回歸的參數估計

五、判定系數

六、例題精講

1. 工人月工資（元）依勞動生產率（千元）變化的回歸直線方程為y=60+90x，下列判斷正確的是（ ）？

A. 勞動生產率為1000元時，工資為50元

B. 勞動生產率提高1000元時，工資提高150元

C. 勞動生產率提高1000元時，工資提高90元

D. 勞動生產率為1000元時，工資為90元

答案：C 解析：根據回歸直線方程 y=60+90x 得到，勞動生產率為1千元時，工人月工資=60+90*1=150元，勞動生產率提高1千元 時，工資提高90元。

2. 以下哪個假設不是線性回歸分析的前提假設？ A. 解釋變量之間必須嚴格獨立

B. 解釋變量之間不能強線性相關

C. 擾動項獨立同分布

D. 擾動項服從正態分布

答案：A 解析：回歸分析的前提假設中，包含解釋變量之間非線性相關、擾動項獨立同分布，擾動項服從正態分布。

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