一、相關關系

散點圖的繪制與解讀、相關系數的概念與特征

用于衡量兩類現象在發展變化的方向與大小方面存在一定的關聯（不包括因果和共變關系）。

1.正線性相關

例如銷售額中涵蓋了銷售利潤和各類成本等，從數據大致可以看出，銷售利潤隨著銷售額的增長而增長，由于各類不確 定因素，數據點基本落在直線周圍，我們稱之為正線性相關。

2.負線性相關

例如通常情況下，某地區的犯罪率越高，則該地區的房價越低，但由于供需環境等其他不確定因素，數據點基本落在直 線周圍，我們稱之為負線性相關。

3.完全線性相關

雖然所有點都在直線上，但是我們不能說兩個變量是函數關系，這是因為我們看到的是樣本，并且我們假設兩個變量是 隨機變量，而我們需要推導的是兩個總體的關系。

4.非線性相關

例如雖然網站的點擊量隨著網站的廣告投入的增加而增加，但其數據點分布在對數線周圍，呈現出對數相關性。

估計標準誤差與相關系數的關系

一元線性回歸中，對于同一個問題，估計標準誤差就意味著樣本點到回歸線的距離越近，那么兩個變量的 線性相關性就越強，相關系數越大。

二、相關系數

1.相關系數

一般情況下，如果不做特殊說明，指的就是線性相關。 如果相關系數是根據變量的樣本數據計算的，即為了推斷總體，那么則稱為樣本相關系數（雖然有的時候在部分資料里 并不嚴格說明），記為 r（有的教材里也稱為Pearson相關系數）

雖然沒有嚴格的規定，但是我們往往習慣按照下面的方式對相關性強度進行分級：

由于 r 只是樣本線性相關系數，無論其數值等于多少，我們需要推斷的始終是總體的相關性如何，這時候我們就需要運 用顯著性檢驗的知識了。我們運用R.A.Fisher提出的 t 檢驗方法來檢驗兩個變量總體之間是否存在線性相關關系。

原假設：H0 ： ? = 0，兩變量間無直線相關關系 檢驗統計量：

適用條件：數據間相互獨立，包括觀測間相互獨立與變量間相互獨立；變量為連續變量（積差相關的條件）；兩變量間 的關系是線性的。

2.散點圖提供如下特征：

（1）散點的密集程度，反應相關性的大??；

（2）散點是否具有線性關系，或線性趨勢，還是其 他形式，如果是其他形式是否可以轉換成線性 形式；

（3）線性關系之外是否存在異常值及其存在與線性 趨勢的哪個方向；

（4）數據是否存在稀疏問題。

3.一元線性回歸方程回歸分析的概念和特點

回歸分析能解決什么問題？

探索影響因變量的可能因素；

利用回歸模型進行預測。

相關與回歸間的關系？

相關分析側重反映散點的疏密程度。

回歸分析側重反映散點的趨勢程度。

三、最小二乘法

1.線性回歸的基本過程

四、評價與檢驗

第一步：總平方和分解

第二步：計算判定系數

第三步：殘差標準誤

由于 SSE 是一個求和表達式。樣本越多，SSE 的取值就往往會越大，因此，SSE 并不適合相對 客觀的反映估計值與樣本值的偏離程度，我們需要將 SSE 處理成相對值。于是我們令

，其中 n-2 是自由度。這個公式可以粗略的理解為，通過除以自由度，得到殘差平 方的均值；再開根號則可以將方差轉化成標準差，也成為估計標準誤差。

第四步：線性關系檢驗

線性回歸模型的假設

五、例題精講

1.回歸分析前，哪種數據處理是不合理的（ ）。 A. 標準化處理

B. 取對數處理

C. 排秩處理

D. 取整處理

答案：CD 解析：標準化可以消除數據規模的影響，對數處理往往可以解決數據正態假設的問題。

2.線性回歸分析主要用于哪種情境（ ）。

A. 客戶價值評估

B. 貸款違約識別

C. 不同班級在英語得分上是否存在差異

D. 根據用戶特征進行市場細分

答案：A 解析：B項說的是邏輯回歸的內容，C項是方差分析的內容，D項是說聚類分析等 方法。

3.線性回歸假設正確的是（ ）。

A. 線性：因變量與自變量間的線性關系

B. 正態性：殘差必須服從正態分布

C. 獨立同分布：殘差間相互獨立，且遵循同一分布

D. 正交假定：誤差項與自變量不相關，其期望為0 答案：ABCD 解析：考察線性回歸的基本假設。

4.以下關于線性回歸闡述正確的是（ ）。

A. 如果我們建立了y關于x的線性回歸方程，那么我們就可以將y變化的原因歸結于x的變化。

B. 如果我們建立了y關于x的線性回歸方程，在沒有其他信息的情況下，我們只能說這兩個變量存在線性關系。

C. 如果變量x與y無法建立線性回歸方程，那就說明x和y沒有關系

D. 如果想研究市場規模與市場環境因素的關系，那么我們就可以以30年的市場規模數據作為因變量y（年化數據）， 對應的市場環境數據作為自變量x，建立線性回歸方程（共30個樣本）。

答案：B 解析：A項是把關系當做因果了，C項有可能有別的非線性關系，D項更適合做面板模型， 線性回歸適合做截面數據。

5.回歸平方和SSR反映了y的總變差中（ ）。

A. 由于 x 和 y 之間的線性關系引起的 y 的變化部分

B. 除了 x 和 y 之間的線性影響之外的其他因素對 y 變差的影響

C. 由于 x 和 y 之間的非線性關系引起的 y 的變化部分

D. 由于 x 和 y 之間的函數關系引起的 y 的變化部分

答案：A 解析：熟悉SSR、SSE的相關概念。

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