條件概率是樸素貝葉斯模型的基礎。

假設，你的xx公司正在面臨著用戶流失的壓力。雖然，你能計算用戶整體流失的概率（流失用戶數/用戶總數）。但這個數字并沒有多大意義，因為資源是有限的，利用這個數字你只能撒胡椒面似的把錢撒在所有用戶上，顯然不經濟。你非常想根據用戶的某種行為，精確地估計一個用戶流失的概率，若這個概率超過某個閥值，再觸發用戶挽留機制。這樣能把錢花到最需要花的地方。

你搜遍腦子里的數據分析方法，終于，一個250年前的人名在腦中閃現。就是“貝葉斯Bayes”。你取得了近一個月的流失用戶數、流失用戶中未讀消息大于5條的人數、近一個月的活躍用戶數及活躍用戶中未讀消息大于5條的人數。在此基礎上，你獲得了一個“一旦用戶未讀消息大于5條，他流失的概率高達%”的精確結論。怎么實現這個計算呢？先別著急，為了解釋清楚貝葉斯模型，我們先定義一些名詞。

• 概率（Probability）——0和1之間的一個數字，表示一個特定結果發生的可能性。比如投資硬幣，“正面朝上”這個特定結果發生的可能性為0.5，這個0.5就是概率。換一種說法，計算樣本數據中出現該結果次數的百分比。即你投一百次硬幣，正面朝上的次數基本上是50次。
• 幾率（Odds）——某一特定結果發生與不發生的概率比。如果你明天電梯上遇上你暗戀的女孩的概率是0.1，那么遇不上她的概率就是0.9，那么遇上暗戀女孩的幾率就是1/9，幾率的取值范圍是0到無窮大。
• 似然（Likelihood）——兩個相關的條件概率之比，即給定B發生的情況下，某一特定結果A發生的概率和給定B不發生的情況下A發生的概率之比。另一種表達方式是，給定B的情況下A發生的幾率和A的整體幾率之比。兩個計算方式是等價的。

因為上面在似然當中提到了條件概率，那么我們有必要將什么是條件概率做更詳盡的闡述。

如上面的韋恩圖，我們用矩形表示一個樣本空間，代表隨機事件發生的一切可能結果。的在統計學中，我們用符號P表示概率，A事件發生的概率表示為P(A)。兩個事件間的概率表達實際上相當繁瑣，我們只介紹本書中用得著的關系：

1. A事件與B事件同時發生的概率表示為P(A∩B)，或簡寫為P(AB)即兩個圓圈重疊的部分。
2. A不發生的概率為1-P(A)，寫為P(~A)，即矩形中除了圓圈A以外的其他部分。
3. A或者B至少有一個發生的概率表示為P(A∪B)，即圓圈A與圓圈B共同覆蓋的區域。
4. 在B事件發生的基礎上發生A的概率表示為P(A|B)，這便是我們前文所提到的條件概率，圖形上它有AB重合的面積比上B的面積。

回到我們的例子。以P(A)代表用戶流失的概率，P(B)代表用戶有5條以上未讀信息的概率，P(B|A)代表用戶流失的前提下未讀信息大于5條的概率。我們要求未讀信息大于5條的用戶流失的概率，即P(A|B)，貝葉斯公式告訴我們：

P(A|B)=P(AB)/P(B)

          　　　　=P(B|A)*P(A)/P(B)

從公式中可知，如果要計算B條件下A發生的概率，只需要計算出后面等式的三個部分，B事件的概率（P(B)），是B的先驗概率、A屬于某類的概率（P(A)），是A的先驗概率、以及已知A的某個分類下，事件B的概率（P(B|A)），是后驗概率。

如果要確定某個樣本歸屬于哪一類，則需要計算出歸屬不同類的概率，再從中挑選出最大的概率

我們把上面的貝葉斯公式寫出這樣，也許你能更好的理解：

MAX(P(Ai|B))=MAX(P(B|Ai)*P(Ai)/P(B))

而這個公式告訴我們，需要計算最大的后驗概率，只需要計算出分子的最大值即可，而不同水平的概率P(C)非常容易獲得，故難點就在于P(X|C)的概率計算。而問題的解決，正是聰明之處，即貝葉斯假設變量X間是條件獨立的，故而P(X|C)的概率就可以計算為：

P(B|Ai) =P(B1/Ai)*P(B2/Ai)*P(B3/Ai)*…..*P(Bn/Ai)

如下圖，由這個公式我們就能輕松計算出，在觀察到某用戶的未讀信息大于5條時，他流失的概率為80%。80%的數值比原來的30%真是靠譜太多了。

當然，現實情況并不會像這個例子這么理想化。大家會問，憑什么你就會想到用“未讀消息大于5條”來作為條件概率？我只能說，現實情況中，你可能要找上一堆覺得能夠凸顯用戶流失的行為，然后一一做貝葉斯規則，來測算他們是否能顯著識別用戶流失。尋找這個字段的效率，取決于你對業務的理解程度和直覺的敏銳性。另外，你還需要定義“流失”和“活躍”，還需要定義貝葉斯規則計算的基礎樣本，這決定了結果的精度。

• 利用全概率公式的一個例子

樸素貝葉斯的應用不止于此，我們再例舉一個更復雜，但現實場景也更實際的案例。假設你為了肅清電商平臺上的惡性商戶（刷單、非法交易、惡性競爭等），委托算法團隊開發了一個識別商家是否是惡性商戶的模型M1。為什么要開發模型呢？因為之前識別惡性商家，你只能通過用戶舉報和人肉識別異常數據的方式，人力成本高且速率很慢。你指望有智能的算法來提高效率。

之前監察團隊的成果告訴我們，目前平臺上的惡性商戶比率為0.2%，記為P(E)，那么P(~E)就是99.8%。利用模型M1進行檢測，你發現在監察團隊已判定的惡性商戶中，由模型M1所判定為陽性（惡性商戶）的人數占比為90%，這是一個條件概率，表示為P(P|E)=90%；在監察團隊判定為健康商戶群體中，由模型M1判定為陽性的人數占比為8%，表示為P(P|~E)=8%。乍看之下，你是不是覺得這個模型的準確度不夠呢？感覺對商戶有8%的誤殺，還有10%的漏判。其實不然，這個模型的結果不是你想當然的這么使用的

這里，我們需要使用一個稱為“全概率公式”的計算模型，來計算出在M1判別某個商戶為惡性商戶時，這個結果的可信度有多高。這正是貝葉斯模型的核心。當M1判別某個商戶為惡性商戶時，這個商戶的確是惡性商戶的概率由P(E|P)表示：

P(E|P)

=P(P|E)*P(E) / (P(E)*P(P|E)+P(~E)*P(P|~E))

上面就是全概率公式。要知道判別為惡性商戶的前提下，該商戶實際為惡性商戶的概率，需要由先前的惡性商戶比率P(E)，以判別的惡性商戶中的結果為陽性的商戶比率P(P|E)，以判別為健康商戶中的結果為陽性的比率P(P|~E)，以判別商戶中健康商戶的比率P(~E)來共同決定。

P(E)     0.2%
P(P|E)  90%
P(~E)   99.8%
P(P|~E)  8%
P(E|P)= P(P|E)*P(E) / (P(E)*P(P|E)+P(~E)*P(P|~E))  2.2%

由上面的數字，帶入全概率公式后，我們獲得的結果為2.2%。也就是說，根據M1的判別為陽性的結果，某個商戶實際為惡性商戶的概率為2.2%，是不進行判別的0.2%的11倍。

你可能認為2.2%的概率并不算高。但實際情況下你應該這么思考：被M1模型判別為惡性商戶，說明這家商戶做出惡性行為的概率是一般商戶的11倍，那么，就非常有必要用進一步的手段進行檢查了。

惡性商戶判別模型真正的使用邏輯應該是如下圖所示。我們先用M1進行一輪判別，結果是陽性的商戶，說明出現惡性行為的概率是一般商戶的11倍，那么有必要用精度更高的方式進行判別，或者人工介入進行檢查。精度更高的檢查和人工介入，成本都是非常高的。因此M1模型的使用能夠使我們的成本得到大幅節約。

貝葉斯模型在很多方面都有應用，我們熟知的領域就有垃圾郵件識別、文本的模糊匹配、欺詐判別、商品推薦等等。通過貝葉斯模型的闡述，大家應該有這樣的一種體會：分析模型并不取決于多么復雜的數學公式，多么高級的軟件工具，多么高深的算法組合；它們的原理往往是通俗易懂的，實現起來也沒有多高的門檻。比如貝葉斯模型，用Excel的單元格和加減乘除的符號就能實現。所以，不要覺得數據分析建模有多遙遠，其實就在你手邊。