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機器學習實現與分析之四（廣義線性模型）
2017-03-15
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機器學習實現與分析之四（廣義線性模型）

指數分布族

首先需要提及下指數分布族，它是指一系列的分布，只要其概率密度函數可以寫成下面這樣的形式：

一般的很多分布（如高斯分布，泊松分布，二項式分布，伽馬分布等）都屬于指數分布族。


廣義線性模型構建假設

廣義線性模型主要基于以下假設：

1.的分布屬于指數分布族

2.預測值為，因此模型就是

3.模型線性性，即


線性回歸與邏輯回歸模型推導

線性回歸中，假設服從高斯分布，則將其寫成指數分布族形式如下：

注意這里ηη和T(y)T(y)可以有多種取法滿足上面這個式子，但根據上面假設的第二條，由于我們需要預測的是yy，則T(y)=yT(y)=y，從而就有

從而：

這里σ2σ2是一個常數，則上式可寫為：

此即為線性回歸中使用的線性模型的來源。同理，對于邏輯回歸，有

則

由此可得：

故而有

此即為邏輯回歸使用的模型。

同理，對于其他分布，我們也可以寫出對應的回歸模型。上面給出了線性回歸和邏輯回歸的模型，通過最大似然估計與梯度下降法，即可求出參數。


問題與思考

1.構建GLM的三條假設，其中假設一在此模型構建中起了什么作用，目前還未理解。假如分布不屬于指數分布族，那是否也可以構建其他形式的線性模型？有理解的同學望不吝賜教。

2.假設三即是模型的線性假設，這也能說明了邏輯回歸只能處理線性可分情況。



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