簡單易學的機器學習算法—Mean Shift聚類算法

一、Mean Shift算法概述

Mean Shift算法，又稱為均值漂移算法，Mean Shift的概念最早是由Fukunage在1975年提出的，在后來由Yizong Cheng對其進行擴充，主要提出了兩點的改進：
定義了核函數；
增加了權重系數。
核函數的定義使得偏移值對偏移向量的貢獻隨之樣本與被偏移點的距離的不同而不同。權重系數使得不同樣本的權重不同。Mean Shift算法在聚類，圖像平滑、分割以及視頻跟蹤等方面有廣泛的應用。
二、Mean Shift算法的核心原理
2.1、核函數
在Mean Shift算法中引入核函數的目的是使得隨著樣本與被偏移點的距離不同，其偏移量對均值偏移向量的貢獻也不同。核函數是機器學習中常用的一種方式。核函數的定義如下所示：

并且滿足：
(1)、k是非負的
(2)、k是非增的
(3)、k是分段連續的
那么，函數K(x)就稱為核函數。

常用的核函數有高斯核函數。高斯核函數如下所示：

其中，h稱為帶寬(bandwidth)，不同帶寬的核函數如下圖所示：

上圖的畫圖腳本如下所示：

'''
Date:201604026
@author: zhaozhiyong
'''
import matplotlib.pyplot as plt
import math

def cal_Gaussian(x, h=1):
    molecule = x * x
    denominator = 2 * h * h
    left = 1 / (math.sqrt(2 * math.pi) * h)
    return left * math.exp(-molecule / denominator)

x = []

for i in xrange(-40,40):
    x.append(i * 0.5);

score_1 = []
score_2 = []
score_3 = []
score_4 = []

for i in x:
    score_1.append(cal_Gaussian(i,1))
    score_2.append(cal_Gaussian(i,2))
    score_3.append(cal_Gaussian(i,3))
    score_4.append(cal_Gaussian(i,4))

plt.plot(x, score_1, 'b--', label="h=1")
plt.plot(x, score_2, 'k--', label="h=2")
plt.plot(x, score_3, 'g--', label="h=3")
plt.plot(x, score_4, 'r--', label="h=4")

plt.legend(loc="upper right")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("N")
plt.show()

2.2、Mean Shift算法的核心思想

2.2.1、基本原理

對于Mean Shift算法，是一個迭代的步驟，即先算出當前點的偏移均值，將該點移動到此偏移均值，然后以此為新的起始點，繼續移動，直到滿足最終的條件。此過程可由下圖的過程進行說明(圖片來自參考文獻3)：

步驟1：在指定的區域內計算偏移均值(如下圖的黃色的圈)

步驟2：移動該點到偏移均值點處

步驟3： 重復上述的過程(計算新的偏移均值，移動)

步驟4：滿足了最終的條件，即退出

從上述過程可以看出，在Mean Shift算法中，最關鍵的就是計算每個點的偏移均值，然后根據新計算的偏移均值更新點的位置。

2.2.2、基本的Mean Shift向量形式

對于給定的d維空間Rd中的n個樣本點，則對于x點，其Mean Shift向量的基本形式為：

其中，Sh指的是一個半徑為h的高維球區域，如上圖中的藍色的圓形區域。Sh的定義為：

這樣的一種基本的Mean Shift形式存在一個問題：在Sh的區域內，每一個點對x的貢獻是一樣的。而實際上，這種貢獻與x到每一個點之間的距離是相關的。同時，對于每一個樣本，其重要程度也是不一樣的。

2.2.3、改進的Mean Shift向量形式

基于以上的考慮，對基本的Mean Shift向量形式中增加核函數和樣本權重，得到如下的改進的Mean Shift向量形式：

其中：

G(x)是一個單位的核函數。H是一個正定的對稱d×d矩陣，稱為帶寬矩陣，其是一個對角陣。w(xi)?0是每一個樣本的權重。對角陣H的形式為：

上述的Mean Shift向量可以改寫成：

Mean Shift向量Mh(x)是歸一化的概率密度梯度。
2.3、Mean Shift算法的解釋

在Mean Shift算法中，實際上是利用了概率密度，求得概率密度的局部最優解。

2.3.1、概率密度梯度

對一個概率密度函數f(x)，已知d維空間中n個采樣點xi,i=1,?,n，f(x)的核函數估計(也稱為Parzen窗估計)為：

其中
w(xi)?0是一個賦給采樣點xi的權重
K(x)是一個核函數
概率密度函數f(x)的梯度▽f(x)的估計為

令，則有：

其中，第二個方括號中的就是Mean Shift向量，其與概率密度梯度成正比。

2.3.2、Mean Shift向量的修正

Mh(x)=∑ni=1G(∥∥xi?xh∥∥2)w(xi)xi∑ni=1G(xi?xh)w(xi)?x
記：，則上式變成：

Mh(x)=mh(x)+x
這與梯度上升的過程一致。

2.4、Mean Shift算法流程

Mean Shift算法的算法流程如下：

計算mh(x)
令x=mh(x)
如果∥mh(x)?x∥<ε，結束循環，否則，重復上述步驟
三、實驗

3.1、實驗數據

實驗數據如下圖所示(來自參考文獻1)：

畫圖的代碼如下：

'''
Date:20160426
@author: zhaozhiyong
'''
import matplotlib.pyplot as plt

f = open("data")
x = []
y = []
for line in f.readlines():
    lines = line.strip().split("\t")
    if len(lines) == 2:
        x.append(float(lines[0]))
        y.append(float(lines[1]))
f.close()  

plt.plot(x, y, 'b.', label="original data")
plt.title('Mean Shift')
plt.legend(loc="upper right")
plt.show()
3.2、實驗的源碼

#!/bin/python
#coding:UTF-8
'''
Date:20160426
@author: zhaozhiyong
'''

import math
import sys
import numpy as np

MIN_DISTANCE = 0.000001#mini error

def load_data(path, feature_num=2):
    f = open(path)
    data = []
    for line in f.readlines():
        lines = line.strip().split("\t")
        data_tmp = []
        if len(lines) != feature_num:
            continue
        for i in xrange(feature_num):
            data_tmp.append(float(lines[i]))

        data.append(data_tmp)
    f.close()
    return data

def gaussian_kernel(distance, bandwidth):
    m = np.shape(distance)[0]
    right = np.mat(np.zeros((m, 1)))
    for i in xrange(m):
        right[i, 0] = (-0.5 * distance[i] * distance[i].T) / (bandwidth * bandwidth)
        right[i, 0] = np.exp(right[i, 0])
    left = 1 / (bandwidth * math.sqrt(2 * math.pi))

    gaussian_val = left * right
    return gaussian_val

def shift_point(point, points, kernel_bandwidth):
    points = np.mat(points)
    m,n = np.shape(points)
    #計算距離
    point_distances = np.mat(np.zeros((m,1)))
    for i in xrange(m):
        point_distances[i, 0] = np.sqrt((point - points[i]) * (point - points[i]).T)

    #計算高斯核      
    point_weights = gaussian_kernel(point_distances, kernel_bandwidth)

    #計算分母
    all = 0.0
    for i in xrange(m):
        all += point_weights[i, 0]

    #均值偏移
    point_shifted = point_weights.T * points / all
    return point_shifted

def euclidean_dist(pointA, pointB):
    #計算pointA和pointB之間的歐式距離
    total = (pointA - pointB) * (pointA - pointB).T
    return math.sqrt(total)

def distance_to_group(point, group):
    min_distance = 10000.0
    for pt in group:
        dist = euclidean_dist(point, pt)
        if dist < min_distance:
            min_distance = dist
    return min_distance

def group_points(mean_shift_points):
    group_assignment = []
    m,n = np.shape(mean_shift_points)
    index = 0
    index_dict = {}
    for i in xrange(m):
        item = []
        for j in xrange(n):
            item.append(str(("%5.2f" % mean_shift_points[i, j])))

        item_1 = "_".join(item)
        print item_1
        if item_1 not in index_dict:
            index_dict[item_1] = index
            index += 1

    for i in xrange(m):
        item = []
                for j in xrange(n):
                        item.append(str(("%5.2f" % mean_shift_points[i, j])))

                item_1 = "_".join(item)
        group_assignment.append(index_dict[item_1])

    return group_assignment

def train_mean_shift(points, kenel_bandwidth=2):
    #shift_points = np.array(points)
    mean_shift_points = np.mat(points)
    max_min_dist = 1
    iter = 0
    m, n = np.shape(mean_shift_points)
    need_shift = [True] * m

    #cal the mean shift vector
    while max_min_dist > MIN_DISTANCE:
        max_min_dist = 0
        iter += 1
        print "iter : " + str(iter)
        for i in range(0, m):
            #判斷每一個樣本點是否需要計算偏置均值
            if not need_shift[i]:
                continue
            p_new = mean_shift_points[i]
            p_new_start = p_new
            p_new = shift_point(p_new, points, kenel_bandwidth)
            dist = euclidean_dist(p_new, p_new_start)

            if dist > max_min_dist:#record the max in all points
                max_min_dist = dist
            if dist < MIN_DISTANCE:#no need to move
                need_shift[i] = False

            mean_shift_points[i] = p_new
    #計算最終的group
    group = group_points(mean_shift_points)

    return np.mat(points), mean_shift_points, group

if __name__ == "__main__":
    #導入數據集
    path = "./data"
    data = load_data(path, 2)

    #訓練，h=2
    points, shift_points, cluster = train_mean_shift(data, 2)

    for i in xrange(len(cluster)):
        print "%5.2f,%5.2f\t%5.2f,%5.2f\t%i" % (points[i,0], points[i, 1], shift_points[i, 0], shift_points[i, 1], cluster[i])
3.3、實驗的結果

經過Mean Shift算法聚類后的數據如下所示：


'''
Date:20160426
@author: zhaozhiyong
'''
import matplotlib.pyplot as plt

f = open("data_mean")
cluster_x_0 = []
cluster_x_1 = []
cluster_x_2 = []
cluster_y_0 = []
cluster_y_1 = []
cluster_y_2 = []
center_x = []
center_y = []
center_dict = {}

for line in f.readlines():
    lines = line.strip().split("\t")
    if len(lines) == 3:
        label = int(lines[2])
        if label == 0:
            data_1 = lines[0].strip().split(",")
            cluster_x_0.append(float(data_1[0]))
            cluster_y_0.append(float(data_1[1]))
            if label not in center_dict:
                center_dict[label] = 1
                data_2 = lines[1].strip().split(",")
                center_x.append(float(data_2[0]))
                center_y.append(float(data_2[1]))
        elif label == 1:
            data_1 = lines[0].strip().split(",")
            cluster_x_1.append(float(data_1[0]))
            cluster_y_1.append(float(data_1[1]))
            if label not in center_dict:
                center_dict[label] = 1
                data_2 = lines[1].strip().split(",")
                center_x.append(float(data_2[0]))
                center_y.append(float(data_2[1]))
        else:
            data_1 = lines[0].strip().split(",")
            cluster_x_2.append(float(data_1[0]))
            cluster_y_2.append(float(data_1[1]))
            if label not in center_dict:
                center_dict[label] = 1
                data_2 = lines[1].strip().split(",")
                center_x.append(float(data_2[0]))
                center_y.append(float(data_2[1]))    
f.close()

plt.plot(cluster_x_0, cluster_y_0, 'b.', label="cluster_0")
plt.plot(cluster_x_1, cluster_y_1, 'g.', label="cluster_1")
plt.plot(cluster_x_2, cluster_y_2, 'k.', label="cluster_2")
plt.plot(center_x, center_y, 'r+', label="mean point")
plt.title('Mean Shift 2')數據分析師培訓
#plt.legend(loc="best")
plt.show()