SPSS因子分析法-例子解釋

因子分析的基本概念和步驟

一、因子分析的意義

在研究實際問題時往往希望盡可能多地收集相關變量，以期望能對問題有比較全面、完整的把握和認識。例如，對高等學?？蒲袪顩r的評價研究，可能會搜集諸如投入科研活動的人數、立項課題數、項目經費、經費支出、結項課題數、發表論文數、發表專著數、獲得獎勵數等多項指標；再例如，學生綜合評價研究中，可能會搜集諸如基礎課成績、專業基礎課成績、專業課成績、體育等各類課程的成績以及累計獲得各項獎學金的次數等。雖然收集這些數據需要投入許多精力，雖然它們能夠較為全面精確地描述事物，但在實際數據建模時，這些變量未必能真正發揮預期的作用，“投入”和“產出”并非呈合理的正比，反而會給統計分析帶來很多問題，可以表現在：

?計算量的問題

由于收集的變量較多，如果這些變量都參與數據建模，無疑會增加分析過程中的計算工作量。雖然，現在的計算技術已得到了迅猛發展，但高維變量和海量數據仍是不容忽視的。

?變量間的相關性問題

收集到的諸多變量之間通常都會存在或多或少的相關性。例如，高?？蒲袪顩r評價中的立項課題數與項目經費、經費支出等之間會存在較高的相關性；學生綜合評價研究中的專業基礎課成績與專業課成績、獲獎學金次數等之間也會存在較高的相關性。而變量之間信息的高度重疊和高度相關會給統計方法的應用帶來許多障礙。例如，多元線性回歸分析中，如果眾多解釋變量之間存在較強的相關性，即存在高度的多重共線性，那么會給回歸方程的參數估計帶來許多麻煩，致使回歸方程參數不準確甚至模型不可用等。類似的問題還有很多。

為了解決這些問題，最簡單和最直接的解決方案是削減變量的個數，但這必然又會導致信息丟失和信息不完整等問題的產生。為此，人們希望探索一種更為有效的解決方法，它既能大大減少參與數據建模的變量個數，同時也不會造成信息的大量丟失。因子分析正式這樣一種能夠有效降低變量維數，并已得到廣泛應用的分析方法。

因子分析的概念起源于20世紀初Karl Pearson和Charles Spearmen等人關于智力測驗的統計分析。目前，因子分析已成功應用于心理學、醫學、氣象、地址、經濟學等領域，并因此促進了理論的不斷豐富和完善。

因子分析以最少的信息丟失為前提，將眾多的原有變量綜合成較少幾個綜合指標，名為因子。通常，因子有以下幾個特點：

?因子個數遠遠少于原有變量的個數

原有變量綜合成少數幾個因子之后，因子將可以替代原有變量參與數據建模，這將大大減少分析過程中的計算工作量。

?因子能夠反映原有變量的絕大部分信息

因子并不是原有變量的簡單取舍，而是原有變量重組后的結果，因此不會造成原有變量信息的大量丟失，并能夠代表原有變量的絕大部分信息。

?因子之間的線性關系并不顯著

由原有變量重組出來的因子之間的線性關系較弱，因子參與數據建模能夠有效地解決變量多重共線性等給分析應用帶來的諸多問題。

?因子具有命名解釋性

通常，因子分析產生的因子能夠通過各種方式最終獲得命名解釋性。因子的命名解

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釋性有助于對因子分析結果的解釋評價，對因子的進一步應用有重要意義。例如，對高?？蒲星闆r的因子分析中，如果能夠得到兩個因子，其中一個因子是對科研人力投入、經費投入、立項項目數等變量的綜合，而另一個是對結項項目數、發表論文數、獲獎成果數等變量的綜合，那么，該因子分析就是較為理想的。因為這兩個因子均有命名可解釋性，其中一個反映了科研投入方面的情況，可命名為科研投入因子，另一個反映了科研產出方面的情況，可命名為科研產出因子。

總之，因子分析是研究如何以最少的信息丟失將眾多原有變量濃縮成少數幾個因子，如何使因子具有一定的命名解釋性的多元統計分析方法。

二、因子分析的基本概念

1、因子分析模型

因子分析模型中，假定每個原始變量由兩部分組成：共同因子（common factors）和唯一因子（unique factors）。共同因子是各個原始變量所共有的因子，解釋變量之間的相關關系。唯一因子顧名思義是每個原始變量所特有的因子，表示該變量不能被共同因子解釋的部分。原始變量與因子分析時抽出的共同因子的相關關系用因子負荷（factor loadings）表示。 因子分析最常用的理論模式如下：

Zj?aj1F1?aj2F2?aj3F3?????ajmFm?Uj（j=1,2,3…,n，n為原始變量總數） 可以用矩陣的形式表示為Z?AF?U。其中F稱為因子，由于它們出現在每個原始變量的線性表達式中（原始變量可以用Xj表示，這里模型中實際上是以F線性表示各個原始變量的標準化分數Zj），因此又稱為公共因子。因子可理解為高維空間中互相垂直的m個坐標軸，A稱為因子載荷矩陣，aji(j?1,2,3...n,i?1,2,3...m)稱為因子載荷，是第j個原始變量在第i個因子上的負荷。如果把變量Zj看成m維因子空間中的一個向量，則

相當于多元線性回歸模型中的標準化回歸系數；U稱為aji表示Zj在坐標軸Fi上的投影，

特殊因子，表示了原有變量不能被因子解釋的部分，其均值為0，相當于多元線性回歸模型中的殘差。

其中，

（1）Zj為第j個變量的標準化分數；

（2）Fi（i=1,2,…,m）為共同因素；

（3）m為所有變量共同因素的數目；

（4）Uj為變量Zj的唯一因素；

（5）aji為因素負荷量。

2、因子分析數學模型中的幾個相關概念

?因子載荷（因素負荷量factor loadings）

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所謂的因子載荷就是因素結構中，原始變量與因素分析時抽取出共同因素的相關?？梢宰C明，在因子不相關的前提下，因子載荷aji是變量Zj和因子Fi的相關系數，反映了變量Zj與因子Fi的相關程度。因子載荷aji值小于等于1，絕對值越接近1，表明因子Fi與變量Zj的相關性越強。同時，因子載荷aji也反映了因子Fi對解釋變量Zj的重要作用和程度。因子載荷作為因子分析模型中的重要統計量，表明了原始變量和共同因子之間的相關關系。因素分析的理想情況，在于個別因素負荷量aji不是很大就是很小，這樣每個變量才能與較少的共同因素產生密切關聯，如果想要以最少的共同因素數來解釋變量間的關系程度，則Uj彼此間或與共同因素間就不能有關聯存在。一般說來，負荷量為0.3或更大被認為有意義。所以，當要判斷一個因子的意義時，需要查看哪些變量的負荷達到了0.3或0.3以上。