SPSS分析技術:最小一乘法;制造企業如何合理安排生產計劃

最小二乘法的原理是以預測值和實測值之差（殘差）的平方和達到最小作為判斷模型優劣的評判標準，應用十分廣泛。沒有放之四海而皆準的真理，最小二乘法同樣不是萬能的，它也有自身的弱點，最主要的缺點就是對強影響點（極端數據值）特別敏感。大家可以想象，最小二乘法評價模型好壞的標準是殘差平方和，因此，絕對值越大的殘差（極端值），平方之后，該數據值的影響就會被放得更大，從而導致回歸線會明顯偏向強影響點。因此，在存在異常值（極端值）時，可以考慮采用其它的回歸模型擬合方法。本篇文章介紹的就是其中一種替代性方法，最小一乘法。

最小一乘法的原理其實很簡單，就是將最小二乘法中考察的殘差平方和換成殘差絕對值，這樣可以在一定程度上減小極端值（異常值）對模型趨勢的影響力。由于原理簡單，本篇文章就不在原理上多費筆墨，直接用例題來介紹如何使用最小一乘法，以及它的效果如何。

應用實例

超耗是制造企業都不愿意看到額外成本支出，特別是快消品類的制造企業，提高生產穩定性，減低超耗成本直接關系到企業的生產成本。某國際知名的食品公司在中國投巨資建設了一家高度自動化的熟食制造企業，在產品調試過程中超耗異常嚴重，所以計劃部門在前期物料準備時都按倉庫的最大存儲量備貨。生產逐步穩定以后，計劃部門希望能夠通過對前期數據的分析，找到合理的原料儲備量，這樣既能夠減低原料過期風險，也能夠減少滯留在原料上的生產成本。已知該工廠生產的產品由5種原料構成，但是成本主要受其中兩種原材料的影響，為及時調整生產，協調庫存，計劃部門收集了一批產品產量與兩種原材料消耗量的數據，希望建立原材料消耗量與產品產量間的回歸方程，用于生產原料預測和采購參考。

分析思路

案例共有兩個自變量（兩種生產原料），一個因變量（產品產量）。根據常識可知，標準化生產的產品都是固定規格的，因此原料和產量間的關系是非常明確的線性關系，但是由于生產線上殘次品，生產工藝缺陷原因造成的物料損耗等必然超耗的存在，每種原料的真實使用量與產品規格內原料比例存在差異。這里的超耗可以分成兩種情況，如果是由生產線不穩定引起的，那么超耗的波動是很大的，而且時高時低；如果是由工藝缺陷引起的超耗，那么這部分損耗在工藝缺陷沒有改進取值會一直穩定的存在。根據以上的分析，可以先對數據進行多元線性回歸分析，然后與原有規格比例對比。

線性回歸分析

線性回歸分析的SPSS操作過程已經在前面介紹過了（回顧：數據分析技術：多重線性模型；也難也不難的建模從這里開始吧?。?，這里省略操作步驟，直接解釋結果。

由上表的分析結果可知，兩種原材料都和產品產量有線性關系，相應的二元線性回歸方程為：

為了觀察數據分布情況和回歸方程的擬合情況，繪制兩種原材料消耗量與產品產量之間散點圖：

從上圖可以看出，兩種原料消耗量和產量間均呈較明顯的線性關系，圖中還分別繪制出采用最小二乘法擬合出的兩個自變量回歸方程的回歸線。但其中原料1和原料2都存在一些數據點偏離主要趨勢較遠的情況出現，這也充分體現了新生產線生產過程不穩定的特點，偶爾出現生產故障導致的原料消耗過多，在回歸模型中表現為強影響點（異常值）。由于后期生產會越來越穩定，在保證生產的前提下，原料的使用量受極端值的影響情況會越來越少，因此可以考慮降低極端值對回歸曲線的影響力，采用最小一乘法擬合線性模型。

操作步驟

1、選擇菜單【分析】-【回歸】-【非線性回歸】，在跳出的對話框中進行如下操作。在因變量框中選擇產量，在模型表達式框中輸入二元線性回歸方程a+b1*x1+b2*x2。由于線性回歸模型比較簡單，可以將模型的三個參數初始擬合值都選為1。

2、由于我們希望對數據進行最小一乘法擬合，所以還需要進行損失設置。點擊右上角的【損失】按鈕，在跳出的對話框中進行如下操作。

3、點擊繼續，完成設置，然后點擊確定，輸出結果。

結果分析

由于最小一乘法在統計理論上無法進行最小二乘法那樣嚴密的推導，所以分析結果非常簡單，僅給出了迭代計算過程，最終迭代終止時的參數值即為參數估計值。下表是結果輸出的迭代計算記錄表，進行了14次迭代計算。

從最后的迭代計算結果可知，最小的殘差絕對值之和為1029. 896。根據第14次的結果，可以寫出生產數據經過最小一乘法擬合之后，得到的回歸方程結果為：

與最小二乘法得到的模型相比，三個模型參數的估計值都有很大變化，特別是常數項，從124減少為9.441。究竟哪個模型更為合理？由于過往用于判斷模型效果的決定系數、剩余標準差等指標都是基于最小二乘法推導而來，因此無法使用它們來判斷。不過我們可以通過殘差分布圖來直觀判斷兩種結果的效果。

從散點圖可知，對于大部分紀錄，最小一乘法的預測殘差都要小于最小二乘法殘差，這說明一乘法模型對大部分散點的擬合效果是比二乘法好的。注意紅框中的兩個數據點，最小一乘法的殘差明顯大于最小二乘法的，這說明最小一乘法對于強影響點（極端值）更有耐受力。我們可以做出下面的結論：最小一乘法擬合的模型對大多數散點的擬合效果比最小二乘法擬合的模型好，但對于個別強影響點的擬合效果是更差的。