R語言與函數估計學習筆記（核方法與局部多項式）

非參數方法

用于函數估計的非參數方法大致上有三種：核方法、局部多項式方法、樣條方法。
非參的函數估計的優點在于穩健，對模型沒有什么特定的假設，只是認為函數光滑，避免了模型選擇帶來的風險；但是，表達式復雜，難以解釋，計算量大是非參的一個很大的毛病。所以說使用非參有風險，選擇需謹慎。
非參的想法很簡單：函數在觀測到的點取觀測值的概率較大，用x附近的值通過加權平均的辦法估計函數f(x)的值。

核方法

當加權的權重是某一函數的核（關于“核”的說法可參見之前的博文《R語言與非參數統計（核密度估計）》）,這種方法就是核方法，常見的有Nadaraya-Watson核估計與Gasser-Muller核估計方法，也就是很多教材里談到的NW核估計與GM核估計，這里我們還是不談核的選擇，將一切的核估計都默認用Gauss核處理。
NW核估計形式為：

GM核估計形式為：

式中

x <- seq(-1, 1, length = 20)
y <- 5 * x * cos(5 * pi * x)
h <- 0.088
fx.hat <- function(z, h) {
    dnorm((z - x)/h)/h
}
KSMOOTH <- function(h, y, x) {
    n <- length(y)
    s.hat <- rep(0, n)
    for (i in 1:n) {
        a <- fx.hat(x[i], h)
        s.hat[i] <- sum(y * a/sum(a))
    }
    return(s.hat)
}

ksmooth.val <- KSMOOTH(h, y, x)

plot(x, y, xlab = "Predictor", ylab = "Response")
f <- function(x) 5 * x * cos(5 * pi * x)
curve(f, -1, 1, ylim = c(-15.5, 15.5), lty = 2, add = T)
lines(x, ksmooth.val, type = "l")

可以看出，核方法基本估計出了函數的形狀，但是效果不太好，這個是由于樣本點過少導致的，我們可以將樣本容量擴大一倍，看看效果：

x <- seq(-1, 1, length = 40)
y <- 5 * x * cos(5 * pi * x)
h <- 0.055
fx.hat <- function(z, h) {
    dnorm((z - x)/h)/h
}
NWSMOOTH <- function(h, y, x) {
    n <- length(y)
    s.hat <- rep(0, n)
    for (i in 1:n) {
        a <- fx.hat(x[i], h)
        s.hat[i] <- sum(y * a/sum(a))
    }
    return(s.hat)
}

NWsmooth.val <- NWSMOOTH(h, y, x)

plot(x, y, xlab = "Predictor", ylab = "Response", col = 1)
f <- function(x) 5 * x * cos(5 * pi * x)
curve(f, -1, 1, ylim = c(-15.5, 15.5), lty = 1, add = T, col = 1)
lines(x, NWsmooth.val, lty = 2, col = 2)
A <- data.frame(x = seq(-1, 1, length = 1000))
model.linear <- lm(y ~ poly(x, 9))
lines(seq(-1, 1, length = 1000), predict(model.linear, A), lty = 3, col = 3)
letters <- c("NW method", "orignal model", "9 order poly-reg")
legend("bottomright", legend = letters, lty = c(2, 1, 3), col = c(2, 1, 3),
    cex = 0.5)

可以看到估計效果還是很好的，至少比基函數的辦法要好一些。那么我們來看看GM核方法：

x <- seq(-1, 1, length = 40)
y <- 5 * x * cos(5 * pi * x)
h <- 0.055

GMSMOOTH <- function(y, x, h) {
    n <- length(y)
    s <- c(-Inf, 0.5 * (x[-n] + x[-1]), Inf)
    s.hat <- rep(0, n)
    for (i in 1:n) {
        fx.hat <- function(z, h, x) {
            dnorm((x - z)/h)/h
        }
        a <- y[i] * integrate(fx.hat, s[i], s[i + 1], h = h, x = x[i])$value
        s.hat[i] <- sum(a)
    }
    return(s.hat)
}

GMsmooth.val <- GMSMOOTH(y, x, h)

plot(x, y, xlab = "Predictor", ylab = "Response", col = 1)
f <- function(x) 5 * x * cos(5 * pi * x)
curve(f, -1, 1, ylim = c(-15.5, 15.5), lty = 1, add = T, col = 1)
lines(x, GMsmooth.val, lty = 2, col = 2)
A <- data.frame(x = seq(-1, 1, length = 1000))
model.linear <- lm(y ~ poly(x, 9))
lines(seq(-1, 1, length = 1000), predict(model.linear, A), lty = 3, col = 3)
letters <- c("GM method", "orignal model", "9 order poly-reg")
legend("bottomright", legend = letters, lty = c(2, 1, 3), col = c(2, 1, 3),
    cex = 0.5)

我們來看看兩個核估計辦法的差異：

x <- seq(-1, 1, length = 40)
y <- 5 * x * cos(5 * pi * x)
h <- 0.055
fx.hat <- function(z, h) {
    dnorm((z - x)/h)/h
}
NWSMOOTH <- function(h, y, x) {
    n <- length(y)
    s.hat <- rep(0, n)
    for (i in 1:n) {
        a <- fx.hat(x[i], h)
        s.hat[i] <- sum(y * a/sum(a))
    }
    return(s.hat)
}

NWsmooth.val <- NWSMOOTH(h, y, x)

GMSMOOTH <- function(y, x, h) {
    n <- length(y)
    s <- c(-Inf, 0.5 * (x[-n] + x[-1]), Inf)
    s.hat <- rep(0, n)
    for (i in 1:n) {
        fx.hat <- function(z, h, x) {
            dnorm((x - z)/h)/h
        }
        a <- y[i] * integrate(fx.hat, s[i], s[i + 1], h = h, x = x[i])$value
        s.hat[i] <- sum(a)
    }
    return(s.hat)
}

GMsmooth.val <- GMSMOOTH(y, x, h)

plot(x, y, xlab = "Predictor", ylab = "Response", col = 1)
f <- function(x) 5 * x * cos(5 * pi * x)
curve(f, -1, 1, ylim = c(-15.5, 15.5), lty = 1, add = T, col = 1)
lines(x, NWsmooth.val, lty = 2, col = 2)
lines(x, GMsmooth.val, lty = 3, col = 3)
letters <- c("orignal model", "NW method", "GM method")
legend("bottomright", legend = letters, lty = 1:3, col = 1:3, cex = 0.5)

從圖中可以看到NW估計的方差似乎小些，事實也確實如此，GM估計的漸進方差約為NW估計的1.5倍。但是GM估計解決了一些計算的難題。
我們最后還是來展示不同窗寬的選擇對估計的影響（這里以NW估計為例）：

x <- seq(-1, 1, length = 40)
y <- 5 * x * cos(5 * pi * x)
fx.hat <- function(z, h) {
    dnorm((z - x)/h)/h
}
NWSMOOTH <- function(h, y, x) {
    n <- length(y)
    s.hat <- rep(0, n)
    for (i in 1:n) {
        a <- fx.hat(x[i], h)
        s.hat[i] <- sum(y * a/sum(a))
    }
    return(s.hat)
}

h <- 0.025
NWsmooth.val0 <- NWSMOOTH(h, y, x)
h <- 0.05
NWsmooth.val1 <- NWSMOOTH(h, y, x)
h <- 0.1
NWsmooth.val2 <- NWSMOOTH(h, y, x)
h <- 0.2
NWsmooth.val3 <- NWSMOOTH(h, y, x)
h <- 0.3
NWsmooth.val4 <- NWSMOOTH(h, y, x)

plot(x, y, xlab = "Predictor", ylab = "Response", col = 1)
f <- function(x) 5 * x * cos(5 * pi * x)
curve(f, -1, 1, ylim = c(-15.5, 15.5), lty = 1, add = T, col = 1)
lines(x, NWsmooth.val0, lty = 2, col = 2)
lines(x, NWsmooth.val1, lty = 3, col = 3)
lines(x, NWsmooth.val2, lty = 4, col = 4)
lines(x, NWsmooth.val3, lty = 5, col = 5)
lines(x, NWsmooth.val4, lty = 6, col = 6)
letters <- c("orignal model", "h=0.025", "h=0.05", "h=0.1", "h=0.2", "h=0.3")
legend("bottom", legend = letters, lty = 1:6, col = 1:6, cex = 0.5)

可以看到窗寬越大，估計越光滑，誤差越大，窗寬越小，估計越不光滑，但擬合優度有提高，卻也容易過擬合。
窗寬怎么選，一個可行的辦法就是CV，通俗的講就是取一個觀測做測試集，剩下的做訓練集，看NMSE。R代碼如下：

x <- seq(-1, 1, length = 40)
y <- 5 * x * cos(5 * pi * x)
# h<-0.055
NWSMOOTH <- function(h, y, x, z) {
    n <- length(y)
    s.hat <- rep(0, n)
    s.hat1 <- rep(0, n)
    for (i in 1:n) {
        s.hat[i] <- dnorm((x[i] - z)/h)/h * y[i]
        s.hat1[i] <- dnorm((x[i] - z)/h)/h
    }
    z.hat <- sum(s.hat)/sum(s.hat1)
    return(z.hat)
}
CVRSS <- function(h, y, x) {
    cv <- NULL
    for (i in seq(x)) {
        cv[i] <- (y[i] - NWSMOOTH(h, y[-i], x[-i], x[i]))^2
    }
    mean(cv)
}
h <- seq(0.01, 0.2, by = 0.005)
cvrss.val <- rep(0, length(h))
for (i in seq(h)) {
    cvrss.val[i] <- CVRSS(h[i], y, x)
}

plot(h, cvrss.val, type = "b")

從圖中我們可以見到CV值在0.01到0.05的變化都不大，這時，我們應該選擇較大的h，使得函數較為光滑，但是0.05后，cv變化較大，說明我們選擇窗寬也不能過大，否則也會出毛病的。那么是不是h越小越好呢？雖然上面一個例子給了我們這樣一個錯覺，我們下面這個例子就可以打破它，數據來自《computational statistics》一書的essay data一例。

easy <- read.table("D:/R/data/easysmooth.dat", header = T)
x <- easy$X
y <- easy$Y
NWSMOOTH <- function(h, y, x, z) {
    n <- length(y)
    s.hat <- rep(0, n)
    s.hat1 <- rep(0, n)
    for (i in 1:n) {
        s.hat[i] <- dnorm((x[i] - z)/h)/h * y[i]
        s.hat1[i] <- dnorm((x[i] - z)/h)/h
    }
    z.hat <- sum(s.hat)/sum(s.hat1)
    return(z.hat)
}
CVRSS <- function(h, y, x) {
    cv <- NULL
    for (i in seq(x)) {
        cv[i] <- (y[i] - NWSMOOTH(h, y[-i], x[-i], x[i]))^2
    }
    mean(cv)
}
h <- seq(0.01, 0.3, by = 0.02)
cvrss.val <- rep(0, length(h))
for (i in seq(h)) {
    cvrss.val[i] <- CVRSS(h[i], y, x)
}

plot(h, cvrss.val, type = "b")

從上圖就可以看到，最佳窗寬約為0.15，而不是0.01.
和樹回歸類似，我們的核方法就是提供了一個常數來漸進這個函數，我們這里仍然可以考慮模型樹的想法，用一階或者高階多項式來作加權估計，這就有了局部多項式估計。

局部多項式

估計的想法是認為未知函數f(x)在近鄰鄰域內可由某一多項式近似（這是Taylor公式的結果），在x0的鄰域內最小化：

具體做法為：
（1）對于每個xi，以該點為中心，計算出對應點處的權重Kh(xi?x)；

（2）采用加權最小二乘法（WLS）估計其參數，并用得到的模型估計該結點對應的x值對應y值，作為y|xi的估計值（只要這一個點的估計值）；

（3）估計下一個點xj；

（4）將每個y|xi的估計值連接起來。
我們這里以《computational statistics》一書的essay data為例來說明局部多項式估計

easy <- read.table("D:/R/data/easysmooth.dat", header = T)
x <- easy$X
y <- easy$Y
h <- 0.16

## FUNCTIONS USES HAT MATRIX

LPRSMOOTH <- function(y, x, h) {
    n <- length(y)
    s.hat <- rep(0, n)
    for (i in 1:n) {
        weight <- dnorm((x - x[i])/h)
        mod <- lm(y ~ x, weights = weight)
        s.hat[i] <- as.numeric(predict(mod, data.frame(x = x[i])))
    }
    return(s.hat)
}

lprsmooth.val <- LPRSMOOTH(y, x, h)

s <- function(x) {
    (x^3) * sin((x + 3.4)/2)
}
x.plot <- seq(min(x), max(x), length.out = 1000)
y.plot <- s(x.plot)
plot(x, y, xlab = "Predictor", ylab = "Response")
lines(x.plot, y.plot, lty = 1, col = 1)
lines(x, lprsmooth.val, lty = 2, col = 2)

我們回到最開始我們提到的三角函數的例子，我們可以看到：
x <- seq(-1, 1, length = 40)
y <- 5 * x * cos(5 * pi * x)

## FUNCTIONS


LPRSMOOTH <- function(y, x, h) {
    n <- length(y)
    s.hat <- rep(0, n)
    for (i in 1:n) {
        weight <- dnorm((x - x[i])/h)
        mod <- lm(y ~ x, weights = weight)
        s.hat[i] <- as.numeric(predict(mod, data.frame(x = x[i])))
    }
    return(s.hat)
}


h <- 0.15
lprsmooth.val1 <- LPRSMOOTH(y, x, h)


h <- 0.066
lprsmooth.val2 <- LPRSMOOTH(y, x, h)

plot(x, y, xlab = "Predictor", ylab = "Response")
f <- function(x) 5 * x * cos(5 * pi * x)
curve(f, -1, 1, ylim = c(-15.5, 15.5), lty = 1, add = T, col = 1)
lines(x, lprsmooth.val1, lty = 2, col = 2)
lines(x, lprsmooth.val2, lty = 3, col = 3)
letters <- c("orignal model", "h=0.15", "h=0.66")
legend("bottom", legend = letters, lty = 1:3, col = 1:3, cex = 0.5

R中提供了很多的函數包來做非參數回歸，常用的有：KernSmooth包的函數locpoly()，locpol的locpol()，locCteSmootherC()以及locfit的locfit().具體的參數設置較為簡單，這里就不多說了。我們以開篇的三角函數模型的例子為例來看看如何使用它們：

library(KernSmooth)  #函數locpoly()
library(locpol)  #locpol(); locCteSmootherC()
library(locfit)  #locfit()

x <- seq(-1, 1, length = 40)
y <- 5 * x * cos(5 * pi * x)

f <- function(x) 5 * x * cos(5 * pi * x)
curve(f, -1, 1)
points(x, y)

fit <- locpoly(x, y, bandwidth = 0.066)
lines(fit, lty = 2, col = 2)

d <- data.frame(x = x, y = y)
r <- locfit(y ~ x, d)  #一般來說，locfit函數自動選的窗寬偏大，函數較光滑
lines(r, lty = 3, col = 3)

xeval <- seq(-1, 1, length = 10)
cuest <- locCuadSmootherC(d$x, d$y, xeval, 0.066, gaussK)
cuest

##          x   beta0   beta1   beta2     den
## 1  -1.0000  5.0858 -35.152 -222.58 0.07571
## 2  -0.7778 -3.3233  11.966  514.42 4.22454
## 3  -0.5556  1.9804 -16.219 -279.47 4.26349
## 4  -0.3333 -0.8416  13.137   83.37 4.26349
## 5  -0.1111  0.1924  -4.983   27.90 4.26349
## 6   0.1111 -0.1924  -4.983  -27.90 4.26349
## 7   0.3333  0.8416  13.137  -83.37 4.26349
## 8   0.5556 -1.9804 -16.219  279.47 4.26349
## 9   0.7778  3.3233  11.966 -514.42 4.22454
## 10  1.0000 -5.0858 -35.152  222.58 0.07571

關于局部多項式估計的想法還有很多，比如我們只考慮近鄰的數據作最小二乘估計，再比如我們可以修改權重，使得我們的窗寬與近鄰點的距離有關，再比如，我們可以考慮不采用最小二乘做優化，而是對最小二乘加上一點點的懲罰……我們將第一個想法稱之為running line，第二個想法稱之為loess,第三個想法依據你的懲罰方式不同有不同的說法。我們將running line的R程序給出如下：

RLSMOOTH <- function(k, y, x) {
    n <- length(y)
    s.hat <- rep(0, n)
    b <- (k - 1)/2
    if (k > 1) {
        for (i in 1:(b + 1)) {
            xi <- x[1:(b + i)]
            xi <- cbind(rep(1, length(xi)), xi)
            hi <- xi %*% solve(t(xi) %*% xi) %*% t(xi)
            s.hat[i] <- y[1:(b + i)] %*% hi[i, ]

            xi <- x[(n - b - i + 1):n]
            xi <- cbind(rep(1, length(xi)), xi)
            hi <- xi %*% solve(t(xi) %*% xi) %*% t(xi)
            s.hat[n - i + 1] <- y[(n - b - i + 1):n] %*% hi[nrow(hi) - i + 1,
                ]
        }
        for (i in (b + 2):(n - b - 1)) {
            xi <- x[(i - b):(i + b)]
            xi <- cbind(rep(1, length(xi)), xi)
            hi <- xi %*% solve(t(xi) %*% xi) %*% t(xi)
            s.hat[i] <- y[(i - b):(i + b)] %*% hi[b + 1, ]
        }
    }
    if (k == 1) {
        s.hat <- y
    }
    return(s.hat)
}

我們也一樣可以對running line做局部多項式回歸，代碼如下：

WRLSMOOTH <- function(k, y, x, h) {
    n <- length(y)
    s.hat <- rep(0, n)
    b <- (k - 1)/2
    if (k > 1) {
        for (i in 1:(b + 1)) {
            xi <- x[1:(b + i)]
            xi <- cbind(rep(1, length(xi)), xi)
            hi <- xi %*% solve(t(xi) %*% xi) %*% t(xi)
            s.hat[i] <- y[1:(b + i)] %*% hi[i, ]

            xi <- x[(n - b - i + 1):n]
            xi <- cbind(rep(1, length(xi)), xi)
            hi <- xi %*% solve(t(xi) %*% xi) %*% t(xi)
            s.hat[n - i + 1] <- y[(n - b - i + 1):n] %*% hi[nrow(hi) - i + 1,
                ]
        }
        for (i in (b + 2):(n - b - 1)) {
            xi <- x[(i - b):(i + b)]
            weight <- dnorm((xi - x[i])/h)
            mod <- lm(y[(i - b):(i + b)] ~ xi, weights = weight)
            s.hat[i] <- as.numeric(predict(mod, data.frame(xi = x[i])))
        }
    }
    if (k == 1) {
        s.hat <- y
    }
    return(s.hat)
}

R中也提供了函數lowess()來做loess回歸。我們這里不妨以essay data為例，看看這三個估計有多大的差別：