單因素下的方差分析

在方差分析中，有三個基本的假設：

　　(1) 正態假設。對于因素的每個水平，其觀測值都是來自正態總體的隨機樣本；
　　(2) 方差齊次假設。各個總體的方差相同；
　　(3) 獨立假設。觀測值之間都是獨立的。
　　設試驗中的因素A，有r個水平A1,A2,...,An，在每個水平下進行試驗得到結果xi1,xi2,...,xini，i=1,2,...,r，其被看作是來自第i個正態總體xi～N(μi,σ2)，其中參數未知且每個樣本都獨立。從而單因素分析的數學模型可以表示為一種線性模型。
　
　　其中，μ是所有總體的均值，αi=μi?μ稱為第i個水平的效應，Eij是隨機誤差。
　　1.正態性檢驗
　　在R語言中，使用Shapiro.test(x)可以對數據x進行正態性檢驗，參數x是要檢驗的數據集，它是長度在3~5000之間的向量。
　　2.方差齊次性檢驗
　　該方法是要檢驗數據在不同水平下，其方差是否相等。在R語言中，使用Bartlett.test()來實現。
　　方差分析的目的是，要比較因素A的r個水平下，試驗結果是否有顯著差異。以樣本均值作為檢驗的標準，寫出檢驗假設：
　　　H0:α1=α2=...=αr,H1:α1,α2,...,αr不全相等
　　如果拒絕原假設H0，說明樣本來自不同的正態總體，則由因素A的各個水平所造成均值的差異有統計意義；
　　如果不能拒絕原假設H0，說明樣本來自相同的正態總體，因素的不同水平之間無差異。
　　案例1，某銀行規定VIP客戶的月均賬戶余額要達到100萬元，并以此作為比較各個分行業績的一項指標。這里的“分行”即為因子，賬戶余額是所要檢驗的指標，先從三個分行(對應三個水平A1、A2、A3)中，分別隨機抽取7個VIP客戶的賬戶，數據列在表(1)中。

表(1) 銀行的三個分行A1、A2、A3

(a)正態性檢驗
　　//zheng.R　　

x1=c(103,101,98,110,105,100,106)
x2=c(113,107,108,116,114,110,115)
x3=c(82,92,84,86,84,90,88)
shapiro.test(x1)
shapiro.test(x2)
shapiro.test(x3

效果如下：

圖(1) 正態性檢驗的結果

　　由圖(1)知，P(A1)=0.948 > 0.05，不能拒絕原假設，
　　　P(A2)=0.4607 > 0.05，不能拒絕原假設，
　　　P(A3)=0.7724 > 0.05，不能拒絕原假設，
　　而原假設H0是變量x服從正態分布，即A1、A2、A3都服從正態分布。
　　(b)方差齊次性檢測

//qi.R　

#方差齊性檢驗
x=c(x1,x2,x3)
account=data.frame(x,A=factor(rep(1:3,each=7)))
bartlett.test(x~A,data=account)

效果如下：

圖(2) 方差齊次性檢測

　　由于P=0.9341 > 0.05，不能拒絕原假設，而原假設H0是樣本是“齊次的”，即三個樣都是等方差的。
　　(c) 單因素分析
　　當數據符合正態性，和方差齊次之后，使用aov()就可以進行方差分析了。

//fen.R　

a.aov=aov(x~A,data=account)
summary(a.aov)
plot(account$x~account$A)

如圖(3)、圖(4)所示：

在圖(3)中，A表示因子，Residuals表示殘差，

　　　　Df 表示自由度
　　　　SumSq 表示平方和
　　　　Mean Sq 表示均方和
　　　　F value F 表示F檢驗統計量的值
　　　　Pr(>F) 表示概率。
　　由于P=8.446e-10 < 0.05，說明拒絕原假設，即不同分行A1、A2、A3的經濟業績有顯著差別。
　　同樣，在圖(4)中，可以看到三個分行的Me(中位數，箱線圖里最粗的黑線，就是中位數，記為Me)是明顯不同的，其中分行A1的Me=85，分行A2的Me=103，分行A3的Me=114,，也就是分行A1、A2、A3的經濟業績有顯著差別。