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特征向量與特征空間有什么區別？
2020-05-21
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事物的每個屬性值，都是在一定范圍內變化的，如：修改桌子高度一般在0.5米-1.5米范圍內變化，寬度在0.6米-1.5米范圍內變化，長度是1米-3米的范圍內變化，則由這三個范圍限度的一個三維空間就是桌子的特征空間。


歸納來說，我們討論問題的特征向量可能取值范圍的全體就是特征空間。


而特征向量，指對一個具體事物（樣本）往往可用其多個屬性來描述，因此，描述該事物用了多個特征，將這些特征有序地排列起來，如一個桌子用長、寬、高三種屬性的度量值有序地排列起來，就成為了一個向量，這種向量就被成為特征向量，每個屬性成為它的一個分量，或一個元素。

可見，如果把矩陣看作是運動，那么特征值就是運動的速度，特征向量就是運動的方向。

特征向量在一個矩陣的作用下作伸縮運動，伸縮的幅度由特征值確定。特征值大于1，所有屬于此特征值的特征向量變長；特征值大于0小于1，特征向量縮短；特征值小于0，特征向量縮過了界，反方向到原點那邊去了。
 
其實，特征值和特征向量在我們的生活中，也非常普遍。

(1)可以用在研究物理、化學領域的微分方程、連續的或離散的動力系統中。例如，在力學中，慣量的特征向量定義了剛體的主軸。慣量是決定剛體圍繞質心轉動的關鍵數據；

(2)數學生態學家用來預測原始森林遭到何種程度的砍伐，會造成貓頭鷹的種群滅亡；

(3)著名的圖像處理中的PCA方法，選取特征值最高的k個特征向量來表示一個矩陣，從而達到降維分析+特征顯示的方法，還有圖像壓縮的K-L變換。再比如很多人臉識別，數據流模式挖掘分析等方面。

(4)在譜系圖論中，一個圖的特征值定義為圖的鄰接矩陣A的特征值，或者（更多的是）圖的拉普拉斯算子矩陣，Google的PageRank算法就是一個例子。


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