6. 方差分析

單因素多水平方差分析

例6.1 不同裝配方式對生產的過濾系統數量的差異性檢驗

某城市過濾水系統生產公司，有A、B、C3種方式進行過濾水系統的裝配，該公司為了研究三種裝配方式生產的過濾系統數量是否有差異，從全體裝配工人中抽取了15名工人，然后隨機地指派一種裝配方式，這樣每個裝配方式就有5個工人。在指派裝配方法和培訓工作都完成后，一周內對每名工人的裝配過濾系統數量進行統計如下：

請根據數據判斷3種裝配方式有無差異

分析過程：由于目標是判斷3種裝配方式有無差異，多樣本的檢驗用方差分析

于是我們有了原假設和備擇假設

:均值不全相等

import pandas as pd
import numpy as np
from scipy import stats

# 數據
A = [58,64,55,66,67]
B = [58,69,71,64,68]
C = [48,57,59,47,49]

data = [A, B, C]
# 方差的齊性檢驗
w, p = stats.levene(*data)
if p < 0.05:
    print('方差齊性假設不成立')
 
 
# 成立之后， 就可以進行單因素方差分析
f_value, p_value = stats.f_oneway(*data)
# 輸出結果
print("F_value:", f_value)
print("p_value:", p_value)
F_value: 9.176470588235295
p_value: 0.0038184120755124806

結論 選擇顯著性水平 0.05 的話，p = 0.0038 < 0.05，故拒絕原假設。支持三種裝配方式裝配數量均值不全相等的備則假設。

例6.2 不同優惠金額對購買轉化率的差異性檢驗

某公司營銷中心為了提升銷量，針對某產品設計了3種不同金額的優惠，想測試三種優惠方式對于用戶的購買轉化率是否有顯著影響，先收集到了三種不同方式在6個月內的轉化率數據

請根據數據判斷3種不同優惠金額的轉化率有無差異

分析過程：由于目標是判斷3種不同金額的優惠券對于轉化率有無差異，多樣本的檢驗用方差分析

于是我們有了原假設和備擇假設

:認為這幾組之間的購買率不一樣

P < 0.05 拒絕原假設，傾向于支持不同優惠金額購買率不一樣的備擇假設。認為不同優惠金額會對購買率產生影響 P > 0.05 無法拒絕原假設。認為不同優惠金額不會對購買率產生影響

import pandas as pd
import numpy as np
from scipy import stats

A = [0.043 , 0.047 , 0.051 , 0.049 , 0.045 , 0.0469]
B = [0.05  , 0.048 , 0.045 , 0.055 , 0.048 , 0.0491]
C = [0.048 , 0.05  , 0.047 , 0.056 , 0.054 , 0.0509]

data = [A, B, C]
# 方差的齊性檢驗
w, p = stats.levene(*data)
if p < 0.05:
    print('方差齊性假設不成立')
 
 
# 成立之后， 就可以進行單因素方差分析
f_value, p_value = stats.f_oneway(*data)
# 輸出結果
print("F_value:", f_value)
print("p_value:", p_value)

# F_value: 2.332956563862427
# p_value: 0.13116820340181937

結論 選擇顯著性水平 0.05 的話，p = 0.1311 > 0.05，故無法拒絕原假設。認為不同優惠金額不會對購買率產生影響

雙因素方差分析

1.雙因素方差分析（等重復實驗）

這里的等重復實驗，意思就是針對每個組合做大于等于兩次的實驗，比如下方例子中表里A1和B1的組合里面有2個數字，即說明做了兩次實驗，如果是3個數字則說明3次實驗，依次類推。

例6.3 不同燃料種類和推進器的火箭射程差異性檢驗

火箭的射程與燃料的種類和推進器的型號有關，現對四種不同的燃料與三種不同型號的推進器進行試驗，每種組合各發射火箭兩次，測得火箭的射程如表（以海里計）（設顯著性水平為0.05）

import numpy as np
import pandas as pd 

d = np.array([[58.2, 52.6, 56.2, 41.2, 65.3, 60.8],
    [49.1, 42.8, 54.1, 50.5, 51.6, 48.4],
    [60.1, 58.3, 70.9, 73.2, 39.2, 40.7],
    [75.8, 71.5, 58.2, 51.0, 48.7,41.4]
])
data = pd.DataFrame(d)
data.index=pd.Index(['A1','A2','A3','A4'],name='燃料')
data.columns=pd.Index(['B1','B1','B2','B2','B3','B3'],name='推進器')

# pandas寬表轉長表
data = data.reset_index().melt(id_vars =['燃料'])
data = data.rename(columns={'value':'射程'})
data.sample(5)

import statsmodels.api as sm
from statsmodels.formula.api import ols

# 進行雙因素方差分析
model = ols('射程~C(燃料) + C(推進器)+C(燃料):C(推進器)', data =data).fit()
# 打印方差分析表
anova_table = sm.stats.anova_lm(model, typ=2)
anova_table

結論:

對燃料因素來說，其p = 0.0259 < 0.05 所以拒絕，認為燃料對射程影響顯著；

對推進器因素來說，其p = 0.0035 < 0.05,所以拒絕，認為推進器對射程影響顯著；

對燃料和推進器的交互因素來說，其p = 0.000062< 0.05,所以拒絕，認為交互因素其對射程影響顯著。

2.雙因素方差分析（無重復實驗）

在等重復實驗中，我們為了檢驗實驗中兩個因素的交互作用，針對每對組合至少要做2次以上實驗，才能夠將交互作用與誤差分離開來，在處理實際問題時候，如果我們一直不存在交互作用，或者交互作用對實驗指標影響極小，則可以不考慮交互作用，此時每對組合只做一次實驗，類似下方例子中的表中數據：

例6.4 不同時間、不同地點顆粒狀物含量差異性檢驗 無重復實驗

下面給出了在5個不同地點、不同時間空氣中的顆粒狀物(單位：mg/m°)含 量的數據記錄于表中，試在顯著性水平下檢驗不同時間、不同地點顆粒狀物含量有無顯著差異？（假設兩者沒有交互作用〉

import numpy as np
import pandas as pd 

d = np.array([
    [76,67,81,56,51],
    [82,69,96,59,70],
    [68,59,67,54,42],
    [63,56,64,58,37]])
data = pd.DataFrame(d)
data.index=pd.Index(['1995年10月','1996年01月','1996年05月','1996年08月'],name='時間')
data.columns=pd.Index(['B1','B2','B3','B4','B5'],name='地點')
# pandas寬表轉長表
data = data.reset_index().melt(id_vars =['時間'])
data = data.rename(columns={'value':'顆粒狀物含量'})
data.sample(5)

隨機查看5條轉化后的數據：

import statsmodels.api as sm
from statsmodels.formula.api import ols

# 進行雙因素方差分析
model = ols('顆粒狀物含量~C(時間) + C(地點)', data =data).fit()
# 打印方差分析表
anova_table = sm.stats.anova_lm(model, typ=2)
anova_table

結論:

對時間因素來說，其p = 0.001033 < 0.05 所以拒絕，認為時間對顆粒狀物含量影響顯著；

對地點因素來說，其p = 0.000234 < 0.05,所以拒絕，認為地點對顆粒狀物含量影響顯著；

下期將為大家帶來《統計學極簡入門》之相關分析

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