如何報告回歸分析的結果_ 回歸分析結果報告

如何描述回歸模型和回歸系數

先簡單講一下一元回歸。一元回歸，即只涉及一個自變量（如X）。這種模型在社會科學中既很少見（一個常見的例外是時間序列分析中以時間為自變量分析因變量的長期趨勢），也很容易報告。一般不需用表格，只須寫一句話（如“自變量X的b = ?，std = ?, Beta = ?”）或給一個公式（如“Y = ? + ?b, where std = ?, Beta = ?”）就足夠了。如果一項研究中有多個一元回歸分析，那么就應該也可以用一個表格來報告（參加？），以便于讀者對各模型之間作比較。

接下來專門講多元回歸。由于其涉及諸多參數，有的必須報告、有的酌情而定、有完全不必，為了便于說明，我按SPSS回歸分析的輸出結果（其它統計軟件大同小異），做了一個如何報告回歸模型和回歸系數的一覽表（表一）。如表所示，我將各種參數分成“必須報告”、“建議報告”、“一般不必”和“完全不必”四類。我的分類標準來自于公認的假設檢驗所涉及的四個方面，即變量之間關系的顯著性、強度、方向和形式（詳見“解釋變量關系時必須考慮的四個問題”一文）。也就是說，每個參數的取舍，應該而且可以由其是否提供了不重復的顯著性（即Sig）、強度（B或Beta的值）、方向（B或Beta的符號）和形式（自變量的轉換）信息而定的。

表一、如何報告回歸模型和回歸系數之一覽表

注1：因變量預測值的標準誤差描述了該模型的精確度(precision)，如表二中的因變量是當前年薪，其預測誤差為？，即如果用該模型（包括起薪、工齡和性別三個自變量）去預測條件相同的企業中的員工年薪，則可以知道？。這種信息無法從模型的其它參數（如R平方或其修正值、顯著水平、各自變量的B或Beta）中得知。

注2：如果因變量和所有自變量都沒有缺省值，那么模型的個案數就等于樣本數。但變量常有缺省值，這時模型的個案數就會小于樣本數、有時兩者相差很大（當然是個嚴重問題），所以一定要報告前者。SPSS并不直接顯示該信息，但很容易計算，等于 ANOVA表中的Total df + 1就是了。

注3：B的置信區間，是用來檢驗B的顯著水平的另一工具（如果上、下限之間包含了0，說明B在95%的水平上不顯著），以彌補t檢驗及其Sig值的不足。這是一個經典又有復雜的問題，叫做Null Hypothesis Significance Test (NHST)，本文不做詳談。有興趣的讀者可以參見有關網頁（R. C. Fraley; D. J. Denis）。SPSS不直接給出B的置信區間，需要在“Statistics”一項中要求添加。如右圖所示，SPSS回歸分析的輸出結果中，內定只顯示“Estimates” 和”Model fit”兩項（即會產生表一中除了置信區間之外的其它各項參數）。建議加選“Confidence intervals”。

現在用一個實例來演示如何報告回歸分析結果。為了便于大家重復這個實例，我使用的數據是SPSS自帶的world95.sav。這是聯合國教科文組織（或世界銀行之類機構）發表的1995年全球109個國家或地區的“國情”數據，其中含有人口、地理、經濟、社會、文化等26個指標。我以其中的birth_rt（每1000人的出生率）為因變量，gpd_car（人均國內生成總值）、urban（城市化，即人口中城市人口比例）、literacy（識字率、即人口中能閱讀者比例）和calories（每天卡路里攝入量）等四項為自變量。按表一的原則，我將該回歸分析的結果報告在表二中：

限于篇幅和本文目的，我不對表二的各參數作解讀。但想對表中的有關格式做些補充說明。

1. 如何給表格取標題：一般只須描述表內的內容即可。那么，本表的內容是什么呢？是出生率對四個自變量作回歸的結果。該四個自變量在表內均有詳細介紹，故不必在表格標題中重復。
2. 如何描述變量（包括因變量和自變量）：我先給出每個變量的理論概念名（如必要，可以用英文）、然后在括號中注明其對應的SPSS變量名（這并非必須、而是為了便于大家對照手頭的SPSS數據）和操作定義（很有必要、強烈推薦，從中讀者可以看到變量是否做過轉換、從而得知有關關系的形式、即線性還是非線性）。為何要如何詳細地描述變量？APA手冊對如何制作各種定量分析結果的表格或圖形有一條“獨立信息”的基本原則，即每個圖表要包含基本信息、以致讀者不需參照正文而能夠獨立讀懂該圖表。因此，簡單地將SPSS輸出結果黏貼過來，雖是最常見的做法、但是很壞的習慣。
3. 是否需要報告常數（Constant）：一定要。常數對解讀回歸模型的實際社會意義，有十分重要的作用。如本表中的常數 = 65.444，意即全球（74個國家或地區）的平均出生率（即在控制了四項自變量的影響之后）為千分之65.4，等等。有一點須注意的是在SPSS的輸出結果中，常數是放在第一行的。應該搬到其它自變量之后。
4. 報告哪個回歸系數（即標準化還是非標準化系數）：這是最常見問題。以前曾有過“預測派”和“解釋派”之爭，前者主張只要報告B就夠了、而后者則認為只要報告Beta就行了。其實兩者反映的是不同的信息，B不受因變量變異程度（variability）的影響、所以同一自變量在各回歸模型中的B是可以比較的（很多理論假設需要檢驗的就是這一問題）；而Beta受因變量變異程度的影響而無法跨越本模型、但是卻因其標準化而可以與同一模型中的其它Beta相比（也有很多理論假設希望解決的是這個問題）。因此，APA手冊建議同時報告兩者（英文第五版pp. 160-161）。
5. 小數點之后取幾位：APA手冊認為，一般的定量分析結果只須保留兩位小數足夠。對回歸結果來說，Beta、R2值、顯著水平等標準化參數（即其取值均在0與1之間）取兩位小數最合適。B及其相關指標（標準誤差、置信區間）是非標準化的（即取值可以是任意大或任意?。?，所以要酌情而定，根據變量的量表（scale，即取值范圍）大小而多取、少取甚至不取小數點。一般而言，當自變量的量表大于因變量時，其B會取小值、所以需要多取一至數位小數；相反，自變量的量表小于因變量時，其B會取大值、所以可以少取甚至不取小數。在本例中，GDP和卡路里的量表都遠大于出生率，所以它們的B值看上去很?。ǖ灰欢ㄒ馕吨绊懶。?。因此，我就沒有機械地只取兩位小數。大家如果仔細看一下表二，就會發現我的“酌情”規則是“最后一位0之后取兩位”，如-0.00042、0.033、-0.034、-0.0041，這與APA手冊的“取兩位小數”原則的基本精神是一致的。我們日常見到的問題，主要是保留過多的小數點，往往是是直接黏貼SPSS的結果（其內定是6位小數）而不加編輯而造成。
6. 表格內是否有橫豎分割線：按APA的規定，除了表格頂部、底部和列標題底部有三條橫線外，其余一概不用。很多人簡單照搬Word表格的內定線條，不做任何修飾。審稿專家一看就知是“菜鳥”或懶漢所為。
7. p是什么東東？就是SPSS輸出中的Sig。p是所有統計學教科書中通用的符號，Sig則只是SPSS的專用。前者更廣為認知。

如何報告多個回歸模型？以上是如何報告一個回歸模型的結果。實際上，一項研究（即一篇論文）中往往涉及數個回歸模型。有些作者喜歡為每個回歸做一個類似表二的回歸結果表。這種方法有兩個問題：一是占用過多的空間、二是不利于對各模型進行比較。一般說來，應該而且可以將平行（即全部自變量相同）或交集（即部分自變量相同）的回歸模型結果放在同一個表內。我們還是用world95數據，再對死亡率和AIDS發病率分別做一個回歸，然后將三個模型的結果放在表三：

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