數據分析-AHP層次分析法

層次分析法（The analytic hierarchy process）簡稱AHP，在20世紀70年代中期由美國運籌學家托馬斯·塞蒂（T.L.Satty）正式提出。它是一種定性和定量相結合的、系統化、層次化的分析方法。由于它在處理復雜的決策問題上的實用性和有效性，很快在世界范圍得到重視。它的應用已遍及經濟計劃和管理、能源政策和分配、行為科學、軍事指揮、運輸、農業、教育、人才、醫療和環境等領域。

什么是AHP層次分析法？

層次分析法的基本思路與人對一個復雜的決策問題的思維、判斷過程大體上是一樣的。不妨用假期旅游為例：假如有3個旅游勝地A、B、C供你選擇，你會根據諸如景色、費用和居住、飲食、旅途條件等一些準則去反復比較這3個候選地點．首先，你會確定這些準則在你的心目中各占多大比重，如果你經濟寬綽、醉心旅游，自然分別看重景色條件，而平素儉樸或手頭拮據的人則會優先考慮費用，中老年旅游者還會對居住、飲食等條件寄以較大關注。其次，你會就每一個準則將3個地點進行對比，譬如A景色最好，B次之；B費用最低，C次之；C居住等條件較好等等。最后，你要將這兩個層次的比較判斷進行綜合，在A、B、C中確定哪個作為最佳地點。

層次分析法的基本步驟

運用層次分析法構造系統模型時，大體可以分為以下五個步驟：
1.建立層次結構模型
2.構造判斷矩陣
3.一致性檢驗
4.計算各層權重
5.總體一致性檢驗

1.建立層次結構模型

層次分析法強調決策問題的層次性，我們必須認清決策目標與決策因素之間的關系。簡單地說，就是處理各個因素之間的包含關系，再把它們放在一個層次結構圖中。一般地，我們把層次結構圖分成3個層次，作為本文的例子，我們以選擇旅游地作為問題，演示層次分析法的過程：
目標層：決策的目的、要解決的問題。（選擇旅游地）
準則層：考慮的因素、決策的準則。（選擇旅游地時會考慮到不同的因素，如景色、費用等）
方案層：決策時的備選方案。（各個景點）

2.構造判斷矩陣

建立層次結構圖，之后我們就必須討論同一層因素的權重。仍用上述例子，這時我們要得出c1,c2,c3……對O的影響權重，可把權重記為：

w=[w1 w2 ...wn-1 wn]

可是，當影響因素很多時，權重就非常難估計，而且常常不容易被別人接受。因此Santy等人提出一致矩陣法，即不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較。（aij在 1-9 及其倒數中間取值）

aij = 1，元素 i 與元素 j 對上一層次因素的重要性相同；

aij = 3，元素 i 比元素 j 略重要；

aij = 5，元素 i 比元素 j 重要；

aij = 7， 元素 i 比元素 j 重要得多；

aij = 9，元素 i 比元素 j 的極其重要；

aij = 2n，n=1,2,3,4，元素 i 與 j 的重要性介于aij = 2n ? 1與aij = 2n + 1之間；

，n=1,2,...,9， 當且僅當aji = n

成對比較矩陣的特點：（備注：當i=j時候，aij = 1）
這時我們就可以得到判斷矩陣，也就是每兩個因素的權重比：

（1）

為幫助理解，此處加入一個權重比表（實際使用過程中可省略），假設所得的權重比如下表所示，第二行第一列表示費用與景色的重要性比為2，第一行第二列表示景色與費用的重要性比為1/2，以此類推，轉換后可得到矩陣A。

    （2）

有了判斷矩陣，我們就可以得到各個因素的權重。矩陣A右乘w

Aw=nw   （3）

也就是說我們只要令(A-n)w=0和|w|=1，就可以算w。

例如：一個三階的矩陣a、b、c，判斷矩陣為

令(A-3)w=0,就有w=[0.6 0.3 0.1]

3.一致性檢驗

仔細查看（2），其實是有問題的。判斷矩陣可能會出現不一致的情況，表現為（3）不成立。
如果說a比b重要2倍，b比c重要3倍，然后說c比a重要2倍，這就有問題了。這就是所謂的不一致現象。（2）就是出現了這一現象。那么，這時權重又如何確定？
學過線性代數的話，我們知道（3）中,n是A的特殊值，而w是A的特殊向量。在出現不一致的情況下，Saaty等人建議用對應于最大特征根l的特征向量作為權向量w，即

由于λ連續的依賴于aij，則λ比n大的越多，A的不一致性越嚴重。用最大特征值對應的特征向量作為被比較因素對上層某因素影響程度的權向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用λ-n數值的大小來衡量A的不一致程度。

定義一致性指標:

CI=0，有完全的一致性

CI接近于0，有滿意的一致性

CI 越大，不一致越嚴重

定義隨機一致性指標 RI：它的值與n的關系如下：

定義一致性比率 ：

一般，當一致性比率<0.1時，認為A的不一致程度在容許范圍之內，有滿意的一致性，通過一致性檢驗?？捎闷錃w一化特征向量作為權向量，否則要重新構造成對比較矩陣A，對aij加以調整。

一致性檢驗也就是利用一致性指標和一致性比率<0.1，及隨機一致性指標的數值表，對A進行檢驗的過程

4.計算各層權重

我們最終目的是要確定P1,P2,P3對O的影響權重。
我們先從C1開始，計算出P1,P2,P3的權重，記為

wc1=[wp1 wp2 wp3]T;

同理算出C2權向量wc2,C3的權向量wc3……再回到O，計算出 

WO=[wo1,wo2,wo3,wo4,wo5]T

這時P1對O的影響權重就是

k1=wp1*wo1+wp2*wo2+……wp5*wo5

用矩陣的語言來說，說是P1,P2,P3對O的影響權重為：

K=WC*WO

其中，WC=[wc1 wc2 wc3 wc4 wc5]

5.總體一致性檢驗

定義總體一致性比率：

其中CIi是下層的一致性指標，RIi是下層的隨機一致性指標，ai是權重。

同樣的，如果CR<0.1，那么一致性在容許范圍之內。

層次分析法的注意事項

如果所選的要素不合理，其含義混淆不清，或要素間的關系不正確，都會降低AHP法的結果質量，甚至導致AHP法決策失敗。
為保證遞階層次結構的合理性，需把握以下原則：數據分析培訓
1.分解簡化問題時把握主要因素，不漏不多；
2.注意相比較元素之間的強度關系，相差太懸殊的要素不能在同一層次比較。