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特征值和特征向量的詳細計算及幾何意義
2020-07-08
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矩陣特征值與特征向量在機器學習算法中經常會用到，每次出現都有著其獨特的意義，如果不能深入理解特征值和特征向量兩個概念，對我們機器學習的實際應用會有很大影響。小編今天整理了特征值和特征向量的概念計算以及幾何意義，希望對大家機器學習有所幫助。

一、特征值和特征向量的概念和計算

設A是n階方陣，如果存在常數及非零n向量x，使得，則稱是矩陣A的特征值，x是A屬于特征值的特征向量。給定n階矩陣A，行列式

的結果是關于的一個多項式，成為矩陣A的特征多項式，該特征多項式構成的方程稱為矩陣A的特征方程。

 

　　定理：n階矩陣A的n個特征值就是其特征方程的n個跟；而A的屬于特征值的特征向量就是其次線性方程的非零解。


二、特征值和特征向量的幾何意義

我們先記線性變換一個T（Transformation）為T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2，容易知道矩陣A代表一個線性變換，可以做升維降維，放大縮小以及旋轉的線性變換，而對于方陣A而言，是不存在升維降維的。即一個方陣A其對向量\vec{v}的線性變換為伸長收縮或者旋轉。

T(\vec{v}) = A\vec{v}

在\vec{i},\vec{j}為基向量的空間下有個向量\vec{v}:

對\vec{v}隨便左乘一個矩陣A，即對\vec{v}進行一個線性變換。

調整下\vec{v}的方向，使其特殊一點。

可以觀察到，調整后的\vec{v}和A\vec{v}在同一直線上，只是A\vec{v}的長度相對\vec{v}的長度變長了。

此時，我們就稱\vec{v}是A的特征向量，而A\vec{v}的長度是\vec{v}的長度的\lambda倍，\lambda就是特征值。

即    T(\vec{v}) = A\vec{v} = \lambda \vec{v}

 


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